Funktion auf Injektivität und Surjektivität untersuchen, Umkehrfunktion bilden

Question

Aufgabe:

f:ℕ² →ℤ, f(x,y) = 2x-5y

h:ℝ²  →ℝ²  , h(x,y) = (-x-y,2x+y)

Problem/Ansatz:

Bei f habe ich keine Ahnung, wie man Surjektivität nachweist, Injektivität ist da ja kein Problem.

Bei h habe ich bei beidem keine Ahnung. Außerdem weiß ich nicht, wie man von h eine Umkehrfunktion bildet.

Danke für Antworten

Comments

Es ist f(5,2) = f(10,4) = 0. Also ist f nicht injektiv.

---

Surjektivität vielleicht so: Wähle c ∈ ℤ beliebig.
Falls c > 0: f(3c,c) = c. Falls c < 0: f(-2c,-c) = c. Falls c = 0: f(5,2) = c.

---

@Arsinoë4 Danke!

Answer 1

h: Seien (x,y) und (a,b) aus R^2 mit

h(x,y) = h(a,b)

<=>   (-x-y,2x+y) =  (-a-b,2a+b)

<=>   -x-y = -a-b      und 2x+y= 2a+b

<=>  -x-y = -a-b     und   y= 2a+b-2x

<=>  -x-(2a+b-2x) = -a-b     und   y= 2a+b-2x

<=>  -2a-b+x = -a-b     und   y= 2a+b-2x

<=>           x = a    und   y= 2a+b-2x

<=>          x = a   und   y= 2a+b-2a

<=>          x = a   und   y= b

<=>          (x,y) = (a ,b)  

Also h injektiv.

Sei (a,b)  aus R^2. Gibt es (x,y) mit h(x,y)=(a,b)

<=>   (-x-y,2x+y) =  (a,b)

<=>  -x-y = a   und 2x+y=b

<=>  -x-y = a   und  y=b-2x

<=>  -x-(b-2x) = a   und y=b-2x

<=>  -b+x= a   und y=b-2x

<=>  x= a+b   und y=b-2(a+b)

<=>  x= a+b   und y=-b-2a

Also gibt es solche x,y .

Comments

Ah ja, so einen Ansatz hatte ich auch, bin dann aber nicht weiter gekommen. Danke!