Umkehrfunktion mittels Surjektivität und Injektivität beweisen

Question

ich habe das mit dem Beweisen von Umkehrfunktionen noch nicht so ganz verstanden. Wir haben die Umkehrfunktion so bewiesen, dass wir eine Formel nach y umgestellt und dann x und y vertauscht haben, so dass wir die Umkehrfunktion hatten. Dann haben wir die Ursprüngs- und die Umkehrfunktion beidseitig verkettet und wenn bei beiden x rauskam gestgestellt, dass dies die Umkehrfunktion ist.

Reicht das? Was hat das mit bijektivität zu tun? Wieso kann man mittels bijektivität beweisen, dass es eine Umkehrfunktion gibt? Wie beeinflusst der Definitionbereich(?) das Ergebnis (z.B. R→R und R>=0→R>=0 ), wenn die Funktion gleich bleibt?

Hier ein Beispiel, wie wir das gerechnet haben:

$$ f(x)=4x-1 $$
Umgestellt nach x:$$  x=y/4+1/4$$
Umkehrfunktion: $${ f }^{ -1 }(x)=x/4+1/4$$
Verkettungen:
$${ f }^{ -1 }(f(x))=\frac { (4x-1)+1 }{ 4 }=x$$
$$f({ f }^{ -1 }(x))=4\frac { x+1 }{ 4 }-1=x$$

Answer 1

Die Umkehrfunktion f^-1 macht die Funktion f wieder "rückgängig". Wenn f(3) = 17 ist so ist f^-1(17) = 3.

Damit eine Unkehrfunktion definiert werden kann muss Bijektivität also Injektivität und Surjektivität vorliegen. Ansonsten macht eine Umkehrfunktion keinen Sinn. Oder anders ausgedrückt die Umkehrfunktion ist nicht wohldefiniert.

Wenn z.B. f(3) = 17  aber auch f(4) = 17 ist, was soll dan f^-1(17) sein? Deshalb benötigt man das f injektiv ist.

Die Surjektivität wird für die Wertebereiche benötigt.

Wenn bijektivität vorliegt, kann man versuchen die Umkehrfunktion zu berechnen. Ansonsten braucht man es gar nicht erst zu versuchen. Das ist diese x,y Vertauschungsgeschichte.

Diese "Verkettung" ist wohl nur eine überprüfung.