allgemeine lineare Gruppe

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die gegebene Matrix Element der Gruppe GL(4, K) ist:
A =     1 1 2 2
     (    0 1 0 1 )
          2 2 1 1 
          2 0 4 1

(a) Für K = R.
(b) Für K = F₃. (Achtung: in F₃ gilt 4 = 1 und es darf nicht durch 3 = 0 geteilt werden.)
(c) Sei n ∈ N. Geben Sie eine Matrix C ∈ GL(n, R), C 6 ≠ 1_n an, so dass gilt:
B · C = C · B für alle B ∈ GL(n, R)

Bin grade verloren.. Kann mir wer helfen?

Liebe Grüße

Answer 1

a) Berechne die Determinante .

Dazu kannst du die Matrix was umformen:

1. Zeile minus 2 * die 2.
3. Zeile minus die 2.
4. Zeile minus die 2.

Das gibt  M=

1   -1   2     0
0    1   0     1
2    1   1     0
2   -1   4     0

und jetzt nach der 4. Spalte entwickeln gibt

\(  det(M) =  1 \cdot det (\begin{pmatrix} 1 & -1  & 2\\ 2 & 1 & 1 \\2 & -1 & 4 \end{pmatrix}) \)

und jetzt z.B. mit der Regel von Sarrus bekommst du als Ergebnis 3.

Das sit nicht 0, also ist die Matrix aus GL(4, ℝ).

Im F₃ ist allerdings 3 = 0 also ist hier Det=0, also Matrix nicht

in GL(4, F₃).

Bei c) kann ich mit "C 6 ≠ 1_n " nix anfangen.

Comments

Sei n ∈ N. Geben Sie eine Matrix C ∈ GL(n, R), C ≠ 1_n an, so dass gilt:
B · C = C · B für alle B ∈ GL(n, R)

So war das gemeint. Mein Fehler sry