Zeige in \( \mathscr{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \) für \( k>0 \) die Formel
\( \lim \limits_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\|x\|^{2}-k^{2} \pm i \epsilon}=P\left(\frac{1}{\|x\|^{2}-k^{2}}\right) \mp i \pi \delta\left(\|x\|^{2}-k^{2}\right) \)
wobei \( P\left(\frac{1}{\|x\|^{2}-k^{2}}\right)[\phi]=\lim \limits_{\delta \downarrow 0} \int \limits_{\|x\|^{2}-k^{2} \mid>\delta} \frac{\phi(x)}{\|x\|^{2}-k^{2}} d x \) und \( \delta\left(\|x\|^{2}-k^{2}\right)[\phi]= \) \( \int \limits_{\|x\|=k} \frac{1}{2 k} \phi(x) d \Omega_{k} \) mit \( d \Omega_{k} \) dem Oberflächenelement der Sphäre \( \left\{\|x\|^{2}=k^{2}\right\} \). Hinweis: Für \( k>0 \) ist
\( \lim \limits_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\|x\|^{2}-k^{2} \mp i \epsilon}=\lim \limits_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\|x\|^{2}-(k \pm i \epsilon)^{2}} \)
Kann mir jemand bei diesem Problem helfen? Wir haben grad das Thema Distributionen und ich verstehe nicht wie ich auf das Resultat komme. S(R) ist der Schwarzraum und S‘(R) der dazugehörige Dualraum. Vielen Dank :)
