Bestimme die uneigentlichen Integrale von f(x) = 1/√(x^2-1) und g(x) = 1/(1 - x^2)

Question

Bestimme die uneigentlichen Integrale:

$$ \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { d x } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \\ \int _ { 2 } ^ { \infty } \frac { d x } { 1 - x ^ { 2 } } $$

Answer 1

Ich nehme zunächst mal die zweite Funktion:

f(x) = 1/(1 - x^2) = 1/(1 + x) * 1/(1 - x)

Ich vermute das es eine Partialbruchzerlegung gibt

a/(1 + x) + b/(1 - x) = (a(1 - x) + b(1 + x)) / (1 - x^2) = (a - ax + b + bx)) / (1 - x^2) = ((b - a)x + a + b)) / (1 - x^2)

b - a = 0
a + b = 1

2b = 1
b = 0,5

0,5 - a = 0
a = 0,5

f(x) = 0,5/(1 + x) + 0,5/(1 - x) = 0,5/(x + 1) - 0,5/(x - 1)

F(x) = ln(x + 1)/2 - ln(x - 1)/2

lim x→∞ F(x) = 0

F(2) = ln(1 + 2)/2 - ln(2 - 1)/2 = ln(3)/2

Damit ist die Fläche

0 - (ln(3)/2) = -ln(3)/2 = -0.5493061443

Nun noch die erste Funktion:

f(x) = 1/sqrt(x^2 - 1)

F(x) = arccosh(x) = ln(√(x^2 - 1) + x)

F(2) - F(1) = ln(√3 + 2) - 0 = ln(√3 + 2) = 1.316957896