Hallo,
sei a=sup(A), b=sup(B). Dann ist a eine pbere Schranke für alle Elemente x aus A, b ist eine Schranke für alle y aus B, also:
$$\forall x \in A: \; \forall y \in B: \quad x \leq a \text{ und } y \leq b \Rightarrow x+y \leq a+b$$
D.h. a+b ist eine obere Schranke für A+B, also gilt für die kleinste obere Schranke: \(\sup (A+B) \leq a+b\).
Sei nun \(e>0\) beliebig. Weil a die kleinste obere Schranke von A ist, ist \(a-e\) keine obere Schranke, also existiert \(x \in A\) mit \(a-e<x\), ebenso \(y \in B\) mit \(b-e<y\). Damit:
$$x+y \in A+B \text{ und } x+y>a+b-2e$$
Also ist a+b-2e keine obere Schrank für A+B. Da e beliebig (klein) ist, ist a+b die kleinste obere Schranke für A+B.
Gruß Mathhilf
