Wie sieht die inverse Matrix aus?

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Zeigen Sie:
a) Ist A ∈ K^n×n eine Matrix, für die ein m ∈ ℕ existiert mit A^m = 0, so ist E − A invertierbar. Wie sieht die inverse Matrix aus?
b) Ist M ∈ K^n×n so, dass M² + 2M + E = 0 gilt, so ist M ist invertierbar.

Answer 1

a): Ganz einfach, für alle Nullteiler gilt, dass sie Bijektionen sind. Ziehe von einer Bijektion (id) eine Bijektion (f) ab und du erhältst wieder eine eine Bijektion. Die zugehörige Matrix (E-A) ist also invertierbar.

b) Die Gleichung lässt sich umformen zu:

M +2M = -1

Du erhältst durch ausklammern, dass M entweder selbst du Einheitsmatrix ist (damit ist M auch invertierbar) oder M-2E ist die Einheitsmatrix, M ist also 3 E und auch invertierbar.

Answer 2

Hallo,

lass Dich mal von der geometrischen Reihe inspirieren. Mach für die Inverse von E-A den Ansatz:

$$X=E+A+A^2+A^3+\ldots A^k$$

Berechen \(X(E-A)\) und überlege, welches k zum Erfolg führt.

Bei b) betrachte die Umformung

$$E=(-M-2E)M$$

Gruß Mathhilf