Komplementärräume bestimmen

Question

Aufgabe:

Es ist zu zeigen oder zu widerlegen, dass <\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \)>, <\( \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} \)>, <\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)> sind Komplementärräume von <\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} -4\\1\\0 \end{pmatrix} \)>,

Problem/Ansatz:

Ich würde jetzt sagen das es zu widerlegen gilt da wir ja in unserem Raum in der letzten Zeile immer 0 haben, dies aber nicht der Fall in einer der ersten.

Comments

Mit deinem Argument hast du es nicht widerlegt, sondern bestätigt.

Du solltest es nur noch etwas formeller begründen.

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OK, ich sehe auch ein wenig wieso aber ich glaube ich habe das mit dem Komplement noch nicht verstanden. Wenn ich das in Wolfram packe und mir das Komplement geben lasse kommt immer was heraus, dass ganz anders aussieht.

Bei dem ersten kommt ein Komplementärraum mit <\( \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 3\\0\\1 \end{pmatrix} \)>, was ich auch mit der Hand so gesagt hätte aber hier hat man auch wieder in einer der letzten Zeilen eine 1 und es macht fuer mich immer noch mehr Sinn das es nicht so ist.

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Zu jedem Unterraum gibt es viele Komplementärraume, die sind nicht eindeutig

festgelegt.

Der Unterraum \(U=<(1,0,0)^T,(-4,1,0)^T>\) ist 2-dimensional und enthält

weder \((1,2,3)^T\),noch \((3,2,1)^T\), noch \((1,1,1)^T\).

\((1,0,0)^T,(-4,1,0)^T,(1,2,3)^T\) sind daher linear unabhängig,

daher \(U\oplus <(1,2,3)^T>=V\), ebenso mit den anderen Kobinationen.

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Danke, jetzt glaube ich verstehe ich es. Aber heisst das nun auch dass wenn dim(U) = dim(V) das U kein Komplement mehr hat und daraus folgt U = V? OOps das gilt ja sowieso, ich bin ein Schusel.

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Ja. Wenn \(U\subseteq V\) und \(\dim(U)=\dim(V)\), dann \(U=V\). ;-)