Du suchst also einen (vom Volumen her) möglichst großen
Zylinder mit einer gewissen "Länge" meistens nennt man das die Höhe h
und einem gewissen Umfang u mit h+u ≤120cm.
Wenn man das voll ausschöpfen will sicherlich h+u =120.
Die cm lass ich mal weg.
Die Formeln hast du ja V=r^2 * h * π und u= 2*r*π und h+u=120
Jetzt versucht man meistens die zu optimierende Größe ( hier das V)
als Funktion der Größen darzustellen, die man beeinflussen kann.
Hier wären das h und r. Das hast du mit V(r,h)=r^2 * h * π.
Nun habt ihr sicherlich gelernt wie man mit der Ableitung einer
Funktion das Maximum/Minimum bestimmen kann. Allerdings gibt
es hier ja 2 Variable und nicht einfach nur ein x.
Aber die 3. Gleichung kannst du umformen zu h=120-u und
einsetzen, das gibt V(r,u)=r^2 * (120-u) * π.
Jetzt hängt es von r und u ab, aber du kannst ja nur r und h beeinflussen.
Mit der 2. Gleichung kannst du aber bei u was einsetzen und hast
V(r)=r^2 * (120- 2*r*π ) * π.
Und jetzt hast du eine Funktion mit einer Variablen.
Zwar r statt x, aber das macht ja nix. Und kann die erst mal was vereinfachen zu
V(r)=r^2 * (120- 2*r*π ) * π =120 r^2 π - 2 π^2 r^3
Das kannst du ableiten V ' (r) = 240r*π - 6 r^2*π^2
Das setzt du gleich 0 und bekommst r=0 oder r=40/π.
Man ahnt schon, das eine ist der Wert für ein Minimum, das andere fürs Max.
Kannst du z.B. mit der 2. Ableitung noch begründen.
Also ist der gesuchte Wert r=40/π ≈12,7 cm und somit h = 120 -12,7 =107,3cm.
