Beweis vom Untervektorraum

Question

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Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Für \( A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) ist
\( U:=\left\{X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid A X=X B\right\} \)
ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \).
b) Sind speziell
\( A=\left(\begin{array}{cc} a_{1} & 0 \\ a_{3} & a_{4} \end{array}\right) \text { und } B=\left(\begin{array}{cc} b_{1} & b_{2} \\ 0 & b_{4} \end{array}\right) \)
so gilt für den Untervektorraum \( U \) aus Teil a)
\( U=\{0\} \Longleftrightarrow\left\{a_{1}, a_{4}\right\} \cap\left\{b_{1}, b_{4}\right\}=\varnothing \)

Hallo Leute, habe mich mit der b) schwer getan. Ich hoffe jemand kann diese Aufgabe hier lösen.

Answer 1

Zu b):

Sei $$X=\left(\begin{array}{cc}u&v\\w&x\end{array}\right)$$Dann führt \(AX-XB=0\) zu dem Gleichungssystem

\((a_1-b_1)u=0\)
\(-b_1u+(a_1-b_4)v=0\)
\(a_3u+(a_4-b_1)w=0\)
\(a_3v-b_2w+(a_4-b_4)x=0\).

Die Koeffizientenmatrix dieses Systems in den Unbekannten \(u,v,w,x\)
ist eine untere Dreiecksmatrix$$\left(\begin{array}{cccc}a_1-b_1&0&0&0\\*&a_1-b_4&0&0\\*&*&a_4-b_1&0\\*&*&*&a_4-b_4\end{array}\right)$$
Deren Determinante ist

\((a_1-b_1)(a_1-b_4)(a_4-b_1)(a_4-b_1)\)

Das Gleichungsystem hat also genau dann nur die Null-Lösung,
wenn die 4 Faktoren \(\neq 0\) sind, d.h. wenn
\(\{a_1,a_4\}\cap\{b_1,b_4\}=\emptyset\) ist.