Gleichung n-1 Lösungen oder n Lösungen

Question

Aufgabe:

Seien a_1,…,a_n ∈ℝ mit a_1<…<a_n mit c ∈ ℝ

Im Falle c=0 genau n-1 Lösungen für c ≠0 genau n Lösungen.

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{1/(x-a_k)} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß 1/n geht gehen 0 falls n gehen ∞ läuft, ich habe Schwierigkeiten mit dem x in der Gleichung.

Comments

Hallo
das ist keine Aufgabe, da steht keine Gleichung, was ist c?
poste die Originalaufgabe, so versteht man dein Problem nicht.

lul

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Zeige sie, dass die Gleichung

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{1/x-a_k} \) = c

Im Falle c=0 genau n-1 Lösungen und im Falle c ≠ 0 genau n Lösungen hat.

Wobei a_1,… a_n ∈ℝ mit a_1<…<a_n mit c ∈ℝ

Answer 1

Hallo

1.  vollständige Induktion als eine Möglichkeit.

2. 1/(x-ak)=uk

für \( \sum\limits_{k=1}^{n}{uk} =c\) zeigen.

mit 1/n gegen 0 hat das aber nichts zu tun!

lul

Comments

Wieso mit Induktion? Wäre ja dann bei n+1

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versteh ich nicht?

lul

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Ja ich verstehe nicht wie mir die induktion dabei helfen soll

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hallo

wenn du bei n Gleichungen n Lösungen has mit c≠0 musst du bei n+1  eben n+1 Lösungen haben, das nennt man Induktion und dass du bei einer Gleichung eine Lösung hast und keine für c=0 ist auch klar.

Aber das GS mit den u ist ja auch einfach.

lul

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Okay super vielen Dank

Answer 2

Hallo

ich sehe das eher als eine Kurvendiskussion für

$$f(x):=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-a_k}$$

Grenzwerte für große (kleine) x sind jeweils 0, oberhalb von a_n liegt der Graph oberhalb der x-Achse, unterhalb von a_1 unterhalb der x-Achse.

Es ist für alle x im Definitionsbereich \(f'(x)<0\), also ist f überall fallend.

Zwischen zwei Polen läuft f fallend von \(\infty\) nach \(-\infty\), nimmt also jeden Wert c genau einmal an, insgesamt also (n1)-mal.

Für c=0 war's das. Sonst nimmt f ein weiteres mal diesen Wert an, je nach Vorzeichen von f oberhalb von a_n oder unterhalb von a_1

Gruß Mathhilf