Vollständige Induktion mit Produktzeichen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für jede natürliche Zahl \( n \geq 2 \) gilt:
\( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 \cdot n} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen? Ich habe vollständige Induktion bis jetzt immer nur mit Summenzeichen gemacht und mit dem Produktzeichen und der Aufgabe komme ich nicht so klar.

IA: k=2 —> 1-1/(2)^2 = 3/4 
n = 2 —> (2+1)/(2*2) = 3/4 

—> wahr

IV:

\( \prod_{n=2}^{\infty}{} \) 1- 1/(k^2)

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich bei dem IS weitermachen soll…

Answer 1

Hallo:-)

Es gilt im Induktionsschritt:

\(\prod \limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\left(\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)\right)\cdot \left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)\stackrel{(IV)}{=}\frac{n+1}{2 \cdot n} \cdot \left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)\)

Vereinfache weiter.