Bestimmen des Integrals von t√(t^2+4) in den Grenzen von 0 bis 2

Question

Integral:

\( \int \limits_{0}^{2} t \sqrt{t^{2}+4} d t \)

Die Wurzel kann auch als (t²+4)^0.5 angegeben werden.

Damit könnte ich das Integral dann partiell integrieren, oder?

Leider habe ich nur einen Rechenweg im Internet gefunden, aus dem ich nicht schlau werde. Mein Ergebnis stimmt auch nicht damit überein...

Könnte mir jemand eine möglichst einfache Art erklären, wie ich auf das richtige Ergebnis komme?

Answer 1

Hi,

am einfachsten dürfte das über die Substitution gehen. Nur wenige Zeilen ;).

$$\int t\sqrt{t^2+4} \; dt $$

Subst. \(u = t^2+4\) und \(du = 2t\; dt\)

Also:

$$\frac{1}{2}\int\sqrt u \; du = \frac{u^{\frac32}}{3} = \frac13(t^2+4)^{\frac32}$$


Einsetzen der Grenzen:

$$\frac83(2\sqrt2-1) \approx4,876$$


Grüße