Aufgabe:
Ordnungssteuerung.
Bei einem linearen \( k \)-Schritt-Verfahren mit Konsistenzordnung \( p \geq 1 \) besitzt der lokale Diskretisierungsfehler die Formel
\( \tau(h)=h^{p} y^{(p+1)}(x) \frac{1}{(p+1) !}\left[\sum \limits_{\ell=1}^{k} \alpha_{\ell} \ell^{p+1}-(p+1) \beta_{\ell} \ell^{p}\right]+\mathcal{O}\left(h^{p+1}\right) . \)
a) Werten Sie für jeweils das Adams-Moulton-Verfahren mit \( k=1 \) und \( k=2 \) Schritten die obige Formel aus, um in \( \tau(h)=C y^{(p+1)}(x) h^{p}+\mathcal{O}\left(h^{p+1}\right) \) die Konstante \( C \) zu erhalten.
b) Der Restterm \( \mathcal{O}\left(h^{p+1}\right) \) wird nun vernachlässigt. Es soll \( |\tau(h)| \approx \) TOL mit einer größtmöglichen Schrittweite \( h \) bei gegebenem TOL \( >0 \) erreicht werden. Bestimmen Sie, ob man das Adams-Moulton-Verfahren mit ein oder zwei Schritten bei folgenden Anfangswertproblemen verwenden sollte:
i) \( y^{\prime}=x^{2}, y(0)=0, x \geq 0 \) beliebig.
ii) \( y^{\prime}=-\frac{7}{2} y^{\frac{5}{7}}, y(0)=1, x \approx 1(x<1) \). Die Lösung lautet \( y(x)=(\sqrt{1-x})^{7} \).
iii) \( y^{\prime}=y, y(0)=1, x \approx 0 \).
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Danke im Voraus! :)
