Prüfen, ob ein Polynom in ℤ13[X] irreduzibel ist?

Question

Aufgabe:

Ist das Polynom x³ + 11x² + 8x + 2 in ℤ₁₃[X] irreduzibel?

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich leider noch keinen Ansatz gefunden um an die Lösung heranzukommen. Ich verstehe so weit, dass das Polynom irreduzibel ist, wenn es keine Nullstellen in der Restklasse hat. Ein Lösungsweg, den man für solche Aufgaben anwenden könnte, wäre sehr hilfreich. Könnte jemand mir weiterhelfen?

Answer 1

In Z₁₃ ist ja 8=-5 und 11=-2 , dann könntest du schreiben

x^3 -2x^2 - 5x + 2   und wenn man da 5 einsetzt,

hat man wegen 5^2 = -1

-5 + 2 +1 + 2 =0, also ist 5 eine Nullstelle.