Zeigen Sie, dass f(X) ⊆ f(Y) für alle Teilmengen ∅ 6= X ⊆ Y ⊆ N gilt.

Question

Sei die Abbildung f definiert durch

f : P(N) → P(N),
X → X \ {min X}.
Zeigen Sie, dass f(X) ⊆ f(Y) für alle Teilmengen ∅ ≠ X ⊆ Y ⊆ N gilt.

Wie kann ich das zeigen? :o

Answer 1

Seien X,Y solche Teilmengen mit ∅ ≠ X ⊆ Y ⊆ N .

Wenn f(X)=∅, dann ist natürlich f(X) ⊆ f(Y).

Sei also a∈f(X). Dann musst du zeigen a∈f(Y).

a∈f(X) ==>  a∈  X \ min(X)

        ==>  a∈X und a≠min(X) #

Wegen X ⊆ Y gilt also auch a∈Y

Ist zu überlegen, ob a=min(Y) sein kann, denn

dann wäre ja a∉f(Y). Kann es aber nicht, denn

angenommen es sei a=min(Y) dann gilt ja a≤z für alle z∈Y

Das gilt dann auch für alle z∈X, da X ⊆ Y.

Dann würde also gelten a∈X und für alle z∈X.

Also a=min(X) im Widerspruch zu #.

Comments

Vielen Dank!