Begründung Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:Begründen sie : …

Sei \( \lambda>0 \)
(a) Begründen Sie: Durch
\( p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \cdot e^{-\lambda} \quad\left(k \in \mathbb{N}_{0}\right) \)
wird eine Zähldichte \( \left(p_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}_{0}} \) definiert.
Hinweis: Für die Exponentialfunktion gilt
\( e^{x}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \cdot x^{k} \quad(x \in \mathbb{R}) \)
(b) Sei nun \( X \) eine \( \pi(0.5) \)-verteilte Zufallsvariable. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) einen Wert aus dem Intervall \( [1,4] \) annimmt ? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) einen Wert größer oder gleich 2 annimmt ?

Problem/Ansatz: Wie fange ich an? Ich verstehe es nicht und ich kann nicht sehen, wie ich es lösen kann. Ich möchte lösen, weil ich solche Aufgaben auf Klausur haben kann..

Comments

Dazu musst Du nachschauen: Was ist die Definition von "Zähldichte"? Was bedeutet \(\pi (0.5)\)-verteilte Zufallsvariable?

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Ich habe das für deine Antwort und Frage gefunden:

Die Zähldichte macht nur Sinn für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, d.h. mit höchstens abzählbaren Ω und wo die Sigma-Algebra gleich der Potenzmenge von Ω ist. Dort wird das W-Maß P vollständig beschrieben durch die Einzelwahrscheinlichkeiten

P({ω})=:f(ω) für alle ω∈Ω, und jenes f bezeichnet man dann eben als Zähldichte.

Im maßtheoretischen Sinne ist f die Radon-Nikodym-Dichte von P bzgl. des Zählmaßes μ auf Ω (also μ(A)=|A|), d.h., f=dPdμ, daher auch der Name.

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Was bedeutet \(\pi (0.5)\)-verteilte Zufallsvariable?

Definition (Binomialverteilung)
Eine diskrete Zufallsvariable X ∈ {0, 1, . . . , n} hat Binomialverteilung mit Parametern n und π, falls
n x n−x P(X=x)= x π(1−π) .
Wir schreiben dafür kurz X ∼ Bin(n, π) mit n ∈ N, π ∈ (0, 1).
Wobei π bezeichnet gerade die Wahrscheinlichkeit für einen“Erfolg” in einem einzelnen Versuch.
Spezialfall: Bin(1, π) = Bernoulli(π).

P(X ≥2)=1−P(X <2)=1−P(X =0)−P(X =1)

P(X>_1/4)=1-P(X<1/4)=…..