Begründung von Binomalformeln

Question

Aufgabe:

Wie kann man

a) \( \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix} \) = n

b) \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} n\\n-k \end{pmatrix} \)

begründen?

Problem/Ansatz:

Wie lässt sich das begründen?

Answer 1

Aloha :)

\(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.

Wenn ich \(k\) Objekte zum Entnehmen ausgewählt habe, sind automatisch auch \((n-k)\) Objekte zum Liegenlassen ausgewählt worden. Ob ich nun \((n-k)\) Objekte zum Liegenlassen auswähle oder \(k\) Objekte zum Entnehmen ist für die Anzahl der Mögichkeiten unerheblich, sie ist in beiden Fällen gleich:$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

\(\binom{n}{n-1}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \((n-1)\) auszuwählen. Wir wählen (wie oben) stattdessen das eine Objekt aus, das wir liegenlassen wollen:$$\binom{n}{n-1}=\binom{n}{1}=n$$Dass es \(n\) Möglichkeiten gibt, aus \(n\) Objekten genau \(1\) auszuwählen, ist klar.

Answer 2

Wende die Definition \( \binom{n}{k}=\frac{n!}{k! (n-k)!}\) an.

Answer 3

Kommt drauf an wie ihr das definiert habt.

Falls es so ist:  \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\)

Dann brauchst du ja nur einzusetzen :

\( \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-1)!\cdot 1!} = \frac{n!}{(n-1)!} =n \)

Answer 4

a) auflösen:

= n!/((n-1)!*(n-(n-1)!) = n!/(n!/n*1!) = n

b) von rechts nach links:

(n über (n-k)) =  n!/(n-k)!*(n-(n-k)!) = n!/(n-k)!*k!= (n über k)