Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Cantor-Schröder-Bernstein, dass |X| = |Y|.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Mengen

X = {(x, y)∈R×R| |x|+|y|≤1}

Y = {(x, y)∈R×R| |x|≤1 und |y|≤1}.

Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Cantor-Schröder-Bernstein, dass |X| = |Y|.
Weisen Sie hierbei für die von Ihnen angegebenen Abbildungen jeweils nach, dass diese
injektiv sind und in den angegebenen Bildbereich abbilden.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das machen soll. Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Betrachte mal die beiden Abbildungen

\(f:X\rightarrow Y,\; (x,y)\mapsto (x,y)\)

\(g:Y\rightarrow X,\; (x,y)\mapsto (x/2,y/2)\).

Comments

Aber inwieweit ist dann |X| = |Y|? Oder denke ich da falsch.

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Wenn du nachweist dass die beiden Abbildungen Injektiv sind folgt genau das aus besagtem Satz von C-S-B.

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Also sei \(f:X\rightarrow Y,\; (x,y)\mapsto (x,y)\) eine Funktion.

Für x,y∈X muss dann gelten: x≠y ⇒ f(x) ≠ f(y).

f(x) = f(y) ⇒ x=y

So?

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Nein. Das ist nicht korrekt.

Die Abbildung \(f\) wird auf Paare angewendet.

Die Injektivität von \(f\) ist trivial. Da muss man nichts zeigen.

\(f\) ist ja sozusagen die identische Abbildung. Ich kenne

niemanden, der daran zweifeln würde, dass diese Abbildung -

die sozusagen gar nichts tut - Verschiedenes auf Verschiedenes abbildet.

Aber meinetwegen formal:

Sei \(f((x_1,y_1))=f((x_2,y_2))\Rightarrow \)

\( (x_1,y_1)=f((x_1,y_1))=f((x_2,y_2))=(x_2,y_2)\)

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Ja, dem stimmte ich zu. Nur verstehe ich nicht, wie ich dann auf |X|=|Y| kommen soll?

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Wenn \(f:X\rightarrow Y\) injektiv ist, dann ist symbolisch \(|X|\leq |Y|\).

Ist ferner \(g:Y\rightarrow X\) ebenfalls injektiv, so ist symbolisch \(|Y|\leq |X|\).

Gemäß C-S-B darf man daraus auf \(|X|=|Y|\) schließen.