Entscheiden, lineare Abbildung vorliegt

Question

Entscheiden Sie jeweils begründet, ob es sich um lineare Abbildungen handelt:
i) f1 : R → R^3, x → (x, 0, x)

ii) f2 : R → P(R), a → ax + 1

Answer 1

Aloha :)

zu i) Hier kannst du direkt eine Abbidlungsmatrix angeben, daher ist \(f_1\) linear:$$f_1(x)=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\cdot x$$

zu ii) Hier wirst du keine Abbidlungsmatrix finden können, weil \(f_2\) nicht linear ist. Dazu kannst du dir überlegen, dass eine lineare Abbildung die Null immer auf die Null abbilden muss, denn:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\quad\stackrel{-f(0)}{\implies}\quad f(0)=0$$Hier ist jedoch \(f_2(0)=a\cdot0+1=1\ne0\).