Aloha :)
Du musst zwei Kriterien prüfen:
(1) Additivität:\(\quad\quad f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)\)
(2) Homogenität:\(\quad f(c\cdot \vec x)=c\cdot f(\vec x)\quad;\quad c\in\mathbb R\)
Hilfreich ist außerdem, dass eine lineare Abbildung die Null immer auf die Null abbildet:$$f(\vec 0)=f(\vec 0+\vec 0)\stackrel{(1)}{=}f(\vec 0)+f(\vec 0)=2f(\vec 0)\stackrel{-f(\vec 0)}{\implies}f(\vec 0)=\vec 0$$
zu a) \(\quad f(x;y;z)=x+y-2z\)
Additivität:$$f\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix}=(\pink{x_1}+x_2)+(\pink{y_1}+y_2)-2(\pink{z_1}+z_2)$$$$\phantom{f\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix}}=(\pink{x_1}+\pink{y_1}-2\pink{z_1})+(x_2+y_2-2z_2)=f\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\quad\checkmark$$Homogenität:$$f\begin{pmatrix}c\cdot x\\c\cdot y\\c\cdot z\end{pmatrix}=c\cdot x+c\cdot y-2c\cdot z=c\cdot(x+y-2z)=c\cdot f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\quad\checkmark$$Die Abbildung ist also linear.
zu b) \(\quad f(x;y)=\binom{x^2}{y^2}\)
Homogenität:$$f\binom{c\cdot x}{c\cdot y}=\binom{(c\cdot x)^2}{(c\cdot y)^2}=\binom{c^2x^2}{c^2y^2}=c^2\binom{x^2}{y^2}=c^2\cdot f(x;y)\ne c\cdot f(x;y)\quad\text{FAIL}$$Die Homogenität ist verletzt, daher ist die Abbildung nicht linear.
zu c) \(\quad f(x;y)=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)
Wegen \(f(0;0)=(1;0;0)^T\) wird die Null nicht auf die Null abgebildet.
Die Abbildung ist also nicht linear.
