f : V → W linear heißt:
Für alle u,v∈V gilt f(u+v)=f(u)+f(v) und für x∈ℝ auch f(x*v)=x*f(v).
Bei a etwa so f : R^3 → R : \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) ↦ x + y − 2z.
Wenn u und v etwa so aussehen \( u= \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \) und \( v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \)
Dann ist \( u+v=\begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2\\ u_3+v_3 \end{pmatrix} \)
Und nun vergleiche f(u+v) und f(u)+f(v)
\( f(u+v)=\begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2\\ u_3+v_3 \end{pmatrix} = (u_1+v_1)+( u_2+v_2) + 2( u_3+v_3) \)
und
\( f(u)+f(v)= (u_1+u_2+2u_3) +(v_1+v_2+2v_3) \)
Wenn du die gängigen Regel zum Klammer auflösen etc. anwendest, wirst du sehen:
Beides ist gleich, also f(u+v)=f(u)+f(v) erfüllt.
Zu f(x*v)=x*f(v) entsprechend
\( f(x*v)=f(\begin{pmatrix} x*v_1 \\ x*v_2\\ x*v_3 \end{pmatrix} = (xv_1)+( xv_2) + 2(x*v_3) \) und
\( f(v)= x*(v_1+v_2+2v_3) \) da passt es auch. Also f linear.
Wenn das x2 bei b) ein x^2 sein sollte, wirst du sehen: Da klappt es nicht !