Beweisen Sie Ungleichung

Question

Aufgabe:

c) Beweisen Sie diese Ungleichung für positive reelle Zahlen:
\( \forall a, b>0: \quad \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \)

Problem/Ansat

Answer 1

\(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\iff 2\sqrt{ab}\leq a+b\iff\)

\(\sqrt{a}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2\geq 0\iff (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0\).