Beweisen Sie die Ungleichung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die Ungleichung:

(1+x)^s ≥ 1 + sx

für alle x, s ∈ ℝ mit x > -1 und s ≥ 1

Hinweis: Besitzt die funktion f(x) = (1+x)² -sx -1 ein globales Minimum auf (-1, ∞)

Problem/Ansatz:
Der Hinweis bringt mir gar nichts, wüsste nichtmal, was für eine Bedeutung das globale Minimum in dem Kontext hat.
Würde mich über ein Lösungsweg freuen.

Comments

Der Hinweis bringt mir gar nichts, wüsste nichtmal, was für eine Bedeutung das globale Minimum in dem Kontext hat.

Wenn das globale Minimum von f größer oder gleich 0 ist,

wenn also \(f(x)\geq 0\) ist für \(x> -1\), dann ist die Ungleichung

erfüllt.

Answer 1

Bin gerade in Freitags-Laune. Also folgen wir mal dem Hinweis.

Wir betrachten

\(f(x) = (1+x)^s-(1+sx) \)

für \(x>-1\) und \(s\geq 1\).

\(f'(x) = s((x+1)^{s-1}-1)\geq 0 \) für für \(x>-1\) und \(s\geq 1\).

Außerdem gilt für \(s\geq 1\)

\(f(-1) = 0 - (1+s(-1))=s-1 \geq 0 \)

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gibt es also für \(x> -1\) ein \(\xi\) mit \(x>\xi >-1\), so dass

\(f(x) \geq f'(\xi)(x-(-1)) +f(-1) = f'(\xi)(x+1) +f(-1) \geq 0\)

D.h., für \(x>-1\) gilt

\(f(x) = (1+x)^s-(1+sx) \geq 0 \Leftrightarrow \boxed{(1+x)^s \geq 1+sx }\)

Comments

Danke!
Frage: Warum ist bei der Ableitung das s ausgeklammert ? Müsste es nicht nur vor (1+x)^s-1 stehen?

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Bitte mal Stift in die Hand nehmen und \(1+sx\) nach x ableiten.

:-)

...aja ... \(s = s\cdot 1\)

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Oh habs übersehen

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macht nix ... immer locker bleiben,

besonders bei mathe,

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Ich habe noch weitere Fragen, falls du mir die beantworten willst:
Warum schauen wir, dass die Ableitung ≥ 0 bzw. warum ist es relevant? Warum setzten wir gerade -1 in f(x) ein und da auch wieder die Frage mit der relevanz von ≥ 0?

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Können wir gern demnächst besprechen. Bin gerade busy und gleich weg. :-) .... freitag abend !!!!

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Alles klar :)

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Wenn wir eine auf einem Intervall \([a,b]\) differenzierbare Funktion \(f\) haben und folgendes gilt:

\(f(a) \geq 0\) und \(f'(x) \geq 0 \) für \(x\in [a,b]\),

dann gilt wegen des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung:

\(f(x) - f(a) = f'(\xi_x)(x-a) \geq 0\)

Damit gilt aber sofort

\(f(x) \geq f(a)\geq 0\) auf \([a,b]\).

Genau das wird im obigen Beweis benutzt.

Answer 2

Hallo mamlanam, in deiner Aufgabe ist ein Fehler. Einmal heißt es (1 + x)^s und einmal (1 + x)^2. Bitte sag mir, welches von beiden richtig ist und warum.

Comments

(1+x)^s ist richtig, aber "warum" kann ich gar nicht beantworten. Die Aufgabe wurde halt so gestellt. Danke für den Hinweis :)

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Das ist richtig. Die Begründung lassen wir dann eben mal weg. Bitte werte den Hinweis aus, das heißt, mach eine Kurvendiskussion zu der Funktion f(x). Wo sind die Maxima und Minima? Dann helfe ich dir weiter.

Und korrigiere bitte den Exponenten oben in der Aufgabe, falls das noch möglich ist.

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Ist leider nicht mehr möglich. Ich mach die Kurvendiskussion, wenn ich später Zeit habe, danke :)

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Ich verstehe gar nicht, wie ich da eine Kurvendiskussion machen soll, kennen Sie da vielleicht eine Anleitung oder so, wo das erklärt wird?

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Kein Problem. Hier ist die Anleitung: Ermittle die Stellen, an denen ein Hochpunkt oder Tiefpunkt sein kann. Dies machst du, indem du f(x) ableitest, und die Ableitung null setzt. Mach das mal bitte. Dann helfe ich dir weiter.

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Ist das die Ableitung?
f'(x) = s(1+x)^s-1 - s

0 = s(1+x)^s-1 - s

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Ja, super! Und jetzt bitte nach x auflösen.

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Da komme ich nicht weiter

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Addiere mal auf beiden Seiten der Gleichung s. Was kommt da raus?

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Du, mamlanam, falls das mit trancelocation in der anderen Antwort nichts mehr wird, kannst du ja doch hier weitermachen. Diese Weg hier ist einfach und anschaulich.

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\(s = s(x+1)^{s-1}\)
\(1 = (x+1)^{s-1}\)
\(1 = \frac{(x+1)^s}{x+1}\)
\(x+1 = (x+1)^s\)
So hätte ich jetzt weiter gemacht

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Jetzt hast du zweimal das x.  Das ist schlecht.  Zieh lieber mal in gleichung 2 die wurzel.

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Ist das richtig?:
\(x = \sqrt[s-1]{1} - 1\)

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Ja, sehr gut. Was ist die (s-1)te Wurzel aus 1? Z. B. die fünfte oder achte Wurzel? Was ist x?

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Kann doch die 0te wurzel sein, was ja eigentlich nicht geht oder?

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Um diesen Spezialfall kümmern wir uns besser später. Geh mal davon aus, dass s > 1.

Für s = 1 ist die originale Ungleichung eh erfüllt, wie man sieht.

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Dann ist x = 0

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Richtig. Bei x = 0 gibts einen Hoch- oder Tiefpunkt. Welchen Wert hat y?

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Wenn ich x =0 in f(x) einsetze bekomme ich: f(0) = 0

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Genau. Ist (0|0) ein Hoch- oder Tiefpunkt?

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(0|0) ist ein Hochpunkt, da f"(x) = -1

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Bist du sicher? Was ist denn die zweite Ableitung?

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Stimmt, muss ein Tiefpunkt sein. Ich glaube es kommt
f"(0) = s²-s, was immer positiv ist

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Genau! Wir haben einen Tiefpunkt! Alles Weitere später. Ich muss mal aus dem Haus und bin in Kürze wieder online. Du kannst ja f(x) schon mal skizzieren.

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Danke für die Hilfe :)
Die Funktion schaut für s = 2 einfach aus, wie eine Parabel (x²)

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Genau. Wir haben gezeigt, dass f(x) einen Tiefpunkt bei (0|0) hat. Weiterhin kann man zeigen, dass f(x) im Definitionsbereich links und rechts davon ansteigt. Somit ist bewiesen, dass f(x) tatsächlich nie kleiner als null werden kann. Genau dies sollte man laut Aufgabenstellung zeigen.

Wie kommt man jetzt, als letzten Schritt, auf den Beweis der gegebenen Ungleichung?

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Muss ich jetzt nicht einfach -1 in f(x) einsetzen?

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Was kommt dann raus?

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s-1 und damit auch ≥ 0

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Aber wie kommst du als letzten Schritt auf den Beweis der in der Aufgabe gegebenen Ungleichung? Setze nochmal f(x) ein in die Ungleichung f(x) ≥ 0 und überlege dann, was zu tun ist.

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Einfach -sx und -1 auf die andere Seite ziehen

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Genau! Damit bist du fertig!

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Vielen Dank für die Hilfe :) Damit habe ich es viel besser verstanden :)

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Bitte sehr. Freut mich. :-)