Aufgabe:
Vorausetzung/Def.:
Für \( x \in \mathbb{R} \) und \( n \in \mathbb{N} \) definieren wir
\( \left(\begin{array}{l} x \\ n \end{array}\right):=\prod \limits_{j=1}^{n} \frac{x-j+1}{j} \)
zu zeigen:
\( s(x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l} x \\ n \end{array}\right) \frac{1}{2^{n}} \)
für jedes \( x \in \mathbb{R} \) absolut konvergent ist.
Problem/Ansatz:
Wie soll ich das Produkt bei der Konvergenz einbinden? Also die absolute Konvergenz von 1/2^n zu zeigen, wäre natürlich kein Problem. Aber wie verhält sich die absolute Konvergenz, wenn noch das Produkt mit dieser ungewöhnlichen Definition dabei ist?
Wenn jemand einen Tipp oder Lösungsvorschlag präsentieren könnte, wäre ich sehr dankbar.
Weihnachtliche Grüße,
eure Verwirrung.
