Zeigen Sie, dass (e,e`) eine Basis von U bilden.

Question

Sei \( \mathcal{A}=\operatorname{Abb}\left(\mathbb{N}_{0}, \mathbb{R}\right)=\left\{f: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{R}\right\} \) und \( \mathcal{U}=\{f \in \mathcal{A} \mid f(i+2)= \) \( f(i)+f(i+1) \) für alle \( i=0,1, \ldots\} \subset \mathcal{A} \). Sei \( \epsilon \in \mathcal{U} \) mit \( \epsilon(0)=1, \epsilon(1)=0 \) und \( \epsilon^{\prime} \in \mathcal{U} \) mit \( \epsilon^{\prime}(0)=0, \epsilon^{\prime}(1)=1 \). Zeigen Sie, dass \( \left(\epsilon, \epsilon^{\prime}\right) \) eine Basis von \( \mathcal{U} \) bilden.

Hinweis: Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jedes \( f \in \mathcal{U} \) und jedes \( i \in \mathbb{N}_{0} \) gilt \( f(i)=f(0) \epsilon(i)+f(1) \epsilon^{\prime}(i) \).

Answer 1

Mit dem Hinweis hast du ja schon mal, dass sie ein

Erzeugendensystem bilden.

Dass sie lin. unabh. sind, kann man so einsehen:

Seien a,b ∈ℝ mit \( a \cdot  \epsilon(i)+ b \cdot  \epsilon^{\prime}(i) = 0 \). [0-Funktion]

Dann gilt 1. \( a \cdot \epsilon(0)+ b \cdot \epsilon^{\prime}(0) = 0 \).

            ==>     \( a \cdot 1+ b \cdot 0 = 0 \).

             ==>   a=0

und            2. \( a \cdot \epsilon(1)+ b \cdot \epsilon^{\prime}(1) = 0 \).

      ==>    \( a \cdot 0+ b \cdot 1 = 0 \).
            ==>  b=0

Also a=b=0 ==>     \(  \epsilon, \epsilon^{\prime} \) sind lin. unabh.