Zeigen Sie, dass (e,e`) eine Basis von U bilden.

Question

Sei $\mathcal{A}=\operatorname{Abb}\left(\mathbb{N}_{0}, \mathbb{R}\right)=\left\{f: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{R}\right\}$ und $\mathcal{U}=\{f \in \mathcal{A} \mid f(i+2)=$ $f(i)+f(i+1)$ für alle $i=0,1, \ldots\} \subset \mathcal{A}$. Sei $\epsilon \in \mathcal{U}$ mit $\epsilon(0)=1, \epsilon(1)=0$ und $\epsilon^{\prime} \in \mathcal{U}$ mit $\epsilon^{\prime}(0)=0, \epsilon^{\prime}(1)=1$. Zeigen Sie, dass $\left(\epsilon, \epsilon^{\prime}\right)$ eine Basis von $\mathcal{U}$ bilden.

Hinweis: Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jedes $f \in \mathcal{U}$ und jedes $i \in \mathbb{N}_{0}$ gilt $f(i)=f(0) \epsilon(i)+f(1) \epsilon^{\prime}(i)$.

Answer 1

Mit dem Hinweis hast du ja schon mal, dass sie ein

Erzeugendensystem bilden.

Dass sie lin. unabh. sind, kann man so einsehen:

Seien a,b ∈ℝ mit $a \cdot \epsilon(i)+ b \cdot \epsilon^{\prime}(i) = 0$. [0-Funktion]

Dann gilt 1. $a \cdot \epsilon(0)+ b \cdot \epsilon^{\prime}(0) = 0$.

            ==>     $a \cdot 1+ b \cdot 0 = 0$.

             ==>   a=0

und            2. $a \cdot \epsilon(1)+ b \cdot \epsilon^{\prime}(1) = 0$.

      ==>    $a \cdot 0+ b \cdot 1 = 0$.
            ==>  b=0

Also a=b=0 ==>     $\epsilon, \epsilon^{\prime}$ sind lin. unabh.