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Aufgabe:

Ich möchte Ableitungen der Fkt. f(x)=1/sqrt(1-x2) mit der Substitution z=x2 berechnen.


Problem/Ansatz:

Die erste Ableitung wäre dann f'(x)=1/(2*(1-z)^(3/2)). Ist das richtig? Und wenn ja wie stubstituiere ich dann zurück?


Vielen Dank Simplex

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Aloha :)

f(x)=11x2    z(x)=x2f(z(x))=11z=(1z)12f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\stackrel{z(x)=x^2}{\implies}\quad f(z(x))=\frac{1}{\sqrt{1-z}}=(1-z)^{-\frac12}Nun kannst du die Kettenregel benutzen:dfdx=dfdzdzdx=12(1z)32(1)=dfdz    2x=dzdx=z=x212(1x2)322x=x(1x2)32\frac{df}{dx}=\frac{df}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\underbrace{-\frac12(1-z)^{-\frac32}\cdot(-1)}_{=\frac{df}{dz}}\;\cdot\;\underbrace{2x}_{=\frac{dz}{dx}}\stackrel{z=x^2}{=}\frac{1}{2(1-x^2)^{\frac32}}\cdot2x=\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}}

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Vielen Dank!

Kann man diese Substitution immer nur pro Ableitung, oder auch mehrmals durchführen und dann am Ende nach mehreren Ableitungen restubstituieren?

Du kannst beliebig viele Substitutionen hinereinander setzen, daher passt der Name Kettenregel auch sehr gut. Nur schreibt man diese Substitutionen normalerweise nicht explizit aus, sondern führt sie einfach hintereinander durch. Dazu ein Beispiel:

sin((1+ex2)37)=cos((1+ex2)37)37(1+ex2)36ex22x\sin\left(\left(1+e^{x^2}\right)^{37}\right)=\cos\left(\left(1+e^{x^2}\right)^{37}\right)\cdot37\left(1+e^{x^2}\right)^{36}\cdot e^{x^2}\cdot 2xDie Kette startet mit der Ableitung der Sinus-Funktion, das Argument wird übernommen. Dann folgt in der Kette die Ableitung der Potenz ()37(\cdots)^{37}, das Argument wird übernommen. Weiter geht es mit der Ableitung der inneren Klammer (1+ex2)(1+e^{x^2}) bzw. der Ableitung von ex2e^{x^2}, weil die Ableitung der 11 ja verschwindet. Die Ableitung der ee-Funktion ist sie selbst, aber die Ableitung ihres Argumentes x2x^2 ist 2x2x.

Man arbeitet sich bei der Kettenregel sozusagen von außen nach innen durch.

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f(x)=11x2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Wenn man nicht substituieren möchte:

df(x)dx=01x212x21x2(1x2)2=x1x21x2 \frac{d f(x)}{d x}=\frac{0 \cdot \sqrt{1-x^{2}}-1 \cdot \frac{-2 x}{2 \cdot \sqrt{1-x^{2}}}}{\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}}=\frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}}

df(x)dx=x(1x2)1x2 \frac{d f(x)}{d x}=\frac{x}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}



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