Integration per Substitution wurzel von (1-x)/(2+x)

Question

Hallo

ich verzweifle an folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie ∫√((1-x)/(2+x)) dx

dabei sollen wir subsituieren und zwar t = √((1-x)/(2+x))

Ich habe versucht das Integral mit t zu substituieren aber ich kriege einfach nicht alle x raus wenn ich das Integral ∫t dt da stehen habe ist unter dem dt immer noch irgendein Ausdruck mit x.

Kann mir jemande weiterhelfen?

Comments

Hast du die Wurzel nur über dem Zähler?

---

nein die wurzel ist über dem ganzen term also quasi

( (1-x)/(2+x) )^{1/2}

---

Ok. Ich ergänze mal oben die Klammer.

Wurzel aus Bruch scheint etwas ungünstig:

t = √(Bruch)

dt / dx  = 1/2 * 1/√(Bruch) * innere Ableitung

((1-x)/ (2+x)) ' = (-1(2+x) - 1*(1-x) ) / (2+x)^2 = -3 / (2+x)^2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281-x%29%2F+%282%2Bx%29%29+

Du müsstest bei deiner Methode direkt versuchen

t = √(Bruch) nach x aufzulösen.

t^2 = (1-x)/ (2+x)

(2+x)t^2 = 1-x

2t^2 + xt^2 = 1-x

x (t^2 + 1) = 1-2t^2

x = (1-2t^2)/(t^2 +1)

---

Ok das verstehe ich aber selbst dann hätte ich bei der Substituiton ja noch das -3 / (2+x)^2 unter dem dt stehen oder?

 

also die Aufgabe lautet genau so:

 

---

jetzt noch das rote x durch meinen roten Term ersetzen und hoffen, dass sich dann irgendwas wegkürzt.

---

x (t^2 + 1) = 1-2t^2

x = (1-2t^2)/(t^2 -1)

 

du meinst x= (1-2t^2)/(t^2+1) oder?

---

Ja. sorry. Ich korrigiere das gleich.

Ich komme jetzt auf
- ∫ (6t^2) /( 1+t^2)^2 dt                (Ohne Gewähr)

Sieht nämlich anders aus als die erste Eingabe bei WolframAlpha.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+∫√%28%281-x%29%2F%282%2Bx%29%29+dx

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-+∫+%286t%5E2%29+%2F%28+1%2Bt%5E2%29%5E2+dt+++

---

Danke für deine Bemühungen aber nach ner Stunde rumrechnerei komme ich trotzdem nur auf Mist und gebe die Aufgabe jetzt auf... Aber trotzdem vielen Dank!

Answer 1

Ich mache mal die Substitution

∫ √((1 - x)/(2 + x)) dx

 

Substitution

u = √((1 - x)/(2 + x))
1 du = 3·√((1 - x)/(x + 2))/(2·(x - 1)·(x + 2)) dx
dx = (2·(x - 1)·(x + 2))/(3·√((1 - x)/(x + 2))) du
x = (1 - 2·u^2)/(u^2 + 1)

∫ √((1 - x)/(2 + x)) dx
∫ u · (2·(x - 1)·(x + 2))/(3·√((1 - x)/(x + 2))) du
∫ u · (2·(((1 - 2·u^2)/(u^2 + 1)) - 1)·(((1 - 2·u^2)/(u^2 + 1)) + 2))/(3·u) du
∫ - 6·u^2/(u^2 + 1)^2 du

 

Jetzt sollte man vermutlich mit Partialbruchzerlegung weitermachen

6·∫ 1/(u^2 + 1)^2 du - 6·∫ 1/(u^2 + 1) du

Comments

Jetzt wohl mit Partialbruchzerlegung fortfahren

∫ - 6·v^2/(v^2 + 1)^2 dv
∫ 6/(v^2 + 1)^2 - 6/(v^2 + 1) dv
6·∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv - 6·∫ 1/(v^2 + 1) dv
6·∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv - 6·ARCTAN(v)

Eingeschoben

∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv

Substitution

TAN(w) = v
1/COS^2(w) dw = 1 dv
dv = 1/COS^2(w) dw
w = ARCTAN(v)

∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv
∫ 1/(TAN(w)^2 + 1)^2 * 1/COS^2(w) dw
∫ COS(w)^2 dw
SIN(w)·COS(w)/2 + w/2
SIN(ARCTAN(v))·COS(ARCTAN(v))/2 + ARCTAN(v)/2
v/(2·(v^2 + 1)) + ATAN(v)/2

Wieder weiter im eigentlichen Integral

6·∫ 1/(v^2 + 1)^2 dv - 6·ARCTAN(v)
6·(v/(2·(v^2 + 1)) + ARCTAN(v)/2) - 6·ARCTAN(v)
3·v/(v^2 + 1) - 3·ATAN(v)

Damit haben wir jetzt eine Stammfunktion

Jetzt sollte man noch Resubstituieren.