Vor dir stehen 10 abgeschlossene Fahrräder. Du sollst sie mit einem Schlüsselbund mit 10 verschiedenen Schlüsseln öffnen.
Aufgabe: a) Wie viele Versuche brauchst du höchstens, damit du für jedes Veloschloss den richtigen Schlüssel findest?
Für das erste Schloss brauch ich maximal 10 Versuche. Dann schließt der letzte Schlüssel den ich probiert habe. Für das zweite Schloss brauch ich max. 9 Versuche, weil ich den Schlüssel der zum Schloss 1 passt nicht probieren muss. Für das dritte Schloss muss ich max. 8 Schlüssel probieren. Also ist die höchste Anzahl:
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55
Aufgabe: b) Du hast insgesamt 10 Fehlversuche zu verzeichnen. Hast du dabei eher Glück oder Pech gehabt ?
Für den 1. Schlüssel kann ich max. 9 Fehlversuche haben und minimal 0 Fehlversuche. Das sind im Mittel 4,5 Fehlversuche. Für den zweiten Schlüssel habe ich max. 8 und minimal 0 Fehlversuche. Das sind im Mittel 4 Fehlversuche. Die Anzahl an durchschnittlichen Fehlversuchen ermittel ich durch:
4,5 + 4 + 3, 5 + 3 + 2,5 + 2 + 1,5 + 1 + 0,5 + 0 = 22,5
Wenn ich nur 10 Fehlversuche habe hatte ich vermutlich Glück gehabt.
Aufgabe: c) Wenn du sehr viel Pech hast, brauchst du 55 Versuche. Mit sehr viel Glück hast du alle Fahrräder nach 10 Versuchen offen. Womit kannst du eher rechnen?
Die Wahrscheinlichkeit das das alle Schlösser mit genau 10 Versuchen offen ist beträgt:
1/10 * 1/9 * 1/8 * 1/7 * 1/6 * 1/5 * 1/4 * 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/10! = 1/362880 = 275*10^-9
Die Wahrscheinlichkeit das ich 55 Versuche brauche beträgt:
1/10 * 1/9 * .... * 1/2 * 1/1 = 1/10!
Es ist also gleich wahrscheinlich ob ich 10 oder 55 Versuche brauche.
Aufgabe: d) Wie oft erwartest du, dass du ein Schloss auf Anhieb öffnest?
1/10 + 1/9 + 1/8 + 1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2,929
Ich erwarte das sich ein Schloss fast 3 mal beim ersten mal öffnet.
