Für den Kern brauchst du alle Vektoren \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) mit
2x - y + 3z = 0. Die zweite Gleichung ist ja nur Vielfaches davon.
Also kannst du x und z frei wählen und hast y= 2x+3z oder eben die Vektoren
\( \begin{pmatrix} x\\2x+3z\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\2x\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\3z\\z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}+ z\begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix} \) .
Also sind \( \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix} \) geeignete Basisvektoren \( \vec{v_1} , \vec{v_2} \).
Die Spalten der gegebenen Matrix sind alle Vielfache von \( \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \),
also kann man den als \( \vec{w_0} \) nehmen.
\( \vec{u} \) muss einer sein, der von \( \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix} \) linear unabhängig ist ,
z.B. \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\) und \( \vec{w} \) muss von \( \vec{w_0} \) lin. unabh. sein, also z.B \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \).
b) Wenn \( \vec{y} \) ∈ Ran [Φ], dann gibt es a∈ℝ mit \( \vec{y}= a\begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a\\2a \end{pmatrix} \).
Dann ist die Urbildmenge von \( \vec{y} \) die Menge aller Vektoren \( \begin{pmatrix} x-0,25a\\2x+3z-0,25a\\z-0,25a \end{pmatrix} \) hier parametrisiert mit x und z.
