Hallo Felix,
alle Funktionen der Graphen, die oben auf dem Bild zu sehen sind, lassen sich in folgender Form darstellen$$f(x)= \frac{a(x-x_1)(x-x_2)}{x-p} \quad \text{bzw.:}\space f(x)= a(x-x_1)(x-x_2)/(x-p)$$Der Wert von \(p\) gibt die Lage des Pols an. Das ist die senkrechte Asymptote in den Graphenbildern. Die Werte \(x_1\) und \(x_2\) sind die beiden Nullstellen, bei denen die Funktion die X-Achse schneidet. Und \(a\) ist die Steigung der zweiten Asymptote.
Wendet man dies auf die vier Graphen an, so erhält man folgende Tabelle:$$\begin{array}{c|cccc|l} & p& x_1&x_2& a& f(x) \\\hline (\text{i}) & -2& -4& 3& -4& \frac{-4(x+4)(x-3)}{x+2}\\ (\text{ii})& -2& -6& 3& 4& \frac{4(x+6)(x-3)}{x+2}\\(\text{iii})& 2& 0& 3& -4& \frac{-4x(x-3)}{x-2} {\color{red}= \frac{-4x^2+12x}{x-2}} \\ (\text{iv}) & 2& -2& 3& 4& \frac{4(x+2)(x-3)}{x-2}\end{array}$$und hier noch mal die vier Graphen, so kannst Du vergleichen, ob es passt
(i) \(f(x)= (-4x^2-4x+48)/(x+2)\)
~plot~ f(x)= (-4x^2-4x+48)/(x+2);[[-7|4|-10|40]];x=-2;-4x+4 ~plot~
(ii) \(f(x)=(4x^2+12x-72)/(x+2)\)
~plot~ f(x)=(4x^2+12x-72)/(x+2);[[-9|5|-30|20]];x=-2;4x+4 ~plot~
(iii) \(f(x) = (-4x^2+12x)/(x-2)\)
~plot~ f(x)=(-4x^2+12x)/(x-2);[[-4|5|-18|18]];x=2;-4x+4 ~plot~
(iv) \(f(x)=(4x^2-4x-24)/(x-2)\)
~plot~ f(x)=(4x^2-4x-24)/(x-2);[[-4|5|-6|28]];x=2;4x+4 ~plot~
dann ist es wohl die Nummer (iii), wie Der_Mathecoach es schon geschrieben hat.
Gruß Werner
PS.: Punkt- geht vor Strichrechnung. Und da \(/ = \div\) zählt die Division zur Punktrechnung. Folglich ist$$f(x) = -4x+12x/x-2 = -4x + \frac{12x}{x} - 2 = -4x+12-2=-4x+10$$
