Potential in Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Potential in Polarkoordinaten berechnen:

\( \vec{F}(\vec{r})=f(r) \vec{e}_{r}, \quad f(r):=-\frac{\alpha}{r^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir erstmal den Gradienten für Polarkoordinaten hergeleitet. Da komme ich auf

∇ = \( \begin{pmatrix} ∂/∂r\\1/r*∂/∂φ\end{pmatrix} \)

Nun habe ich folgendes gefunden:

\( \operatorname{grad} \Phi(r, \varphi)=\frac{\partial \Phi}{\partial r} \overrightarrow{e_{r}}+\frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi} \overrightarrow{e_{\varphi}} \)

Wie rechne ich jetzt zb die Rotation des Feldes aus? Ich weiß nicht, wie ich mit den Einheitsvektoren umgehen soll...

Deshalb weiß ich auch nicht, wie ich das Potential bestimmen kann.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde mit dir gerne einen Schritt zurückgehen und überlegen, wie der Gradient einer Funktion aussieht, die nur vom Betrag \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) des Ortsvektors \(\vec r\) abhängt. Lass uns das mal kurz zusammen mit der Kettenregel berechnen:$$\operatorname{grad}f(r)=\frac{\partial f}{\partial\vec r}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial\vec r}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\operatorname{grad}\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\begin{pmatrix}\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\[1ex]\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\[1ex]\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{pmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{grad}f(r)}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{1}{r}\vec r=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\vec r^0$$Da \(f\) nur von \(r\) abhängt, können wir auch schreiben:$$\boxed{\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0}$$

Hier ist nun \(\vec F(\vec r)=-\frac{\alpha}{r^n}\cdot\vec r^0\) und du kannst das Potential direkt angeben:$$V(r)=\int-\frac{\alpha}{r^n}dr=\frac{\alpha}{(n-1)\,r^{n-1}}+\text{const}$$

Der Polarwinkel \(\varphi\) kommt also überhaupt nicht vor, nur der Betrag \(r\) ist von Interesse.

Comments

Hi, das habe ich genau so gemacht! Ich soll quasi nur noch zeigen, dass die negative Stammfunktion von f(r), dass Potential ist.

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Dann bilde doch einfach den Gradienten mit der eingerahmten Formel ;)

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Du hast quasi einfach mit del r/del r erweitert?

Und in Polarkoordinaten fällt das z doch einfach weg, da = 0 oder?

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Ich habe die Kettenregel angewendet. Das sieht nur so aus, als hätte ich erweitert. Deswegen verwenden Physiker auch gerne die symbolische Schreibweise \(\operatorname{grad}=\frac{\partial}{\partial \vec r}\).

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Ich verstehe nicht, wo und warum da die Kettenregel auftritt? R Vektor hoch 0 ist der Einheitsvektor?

So ganz verstehe ich auch nicht, was du damit gezeigt hast...

Könntest du nochmal versuchen, es mir zu erläutern?

LG

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Ich führe dir die Schritte nochmal mit den einzelnen Komponenten vor. Die \(i\)-te Komponente des Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$$$$\phantom{\operatorname{grad}_if(r)}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{x_i }{r}$$Da \(f(r)\) nur von \(r\) abhängt, können wir beim Zusammenbau des Gradienten auch \(f'(r)\) anstatt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) schreiben:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r$$$$\boxed{\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0}$$

Und \(\vec r^0=\frac{1}{r}\vec r\) ist der Einheitsvektor.

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Okay, ich verstehe soweit alles, bis auf die erste Kettenregel... Vielleicht bin ich gerade auch einfach verwirrt, aber ich sehe nicht woher das kommt.

Und die z Komponente muss ich doch nicht beachten, oder?

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Machst das so Sinn?

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Das ist die Rechnung für den 2-dimensionalen Fall. Dann brauchst du die \(z\)-Koordinaten nicht zu beachten.

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Ich danke dir! Meiner Meinung nach sollte das sein, was gefordert wird in der Aufgabe. Danke nochmal!

Die Kettenregel verstehe ich tatsächlich nicht. Vielleicht schaue ich einfach morgen nochmal drauf und sehe es dann.

Eine gute Nacht wünsche ich :)