Aloha :)
Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=5+3x^2-3xy+2y^2$$findest du dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{6x-3y}{4y-3x}\implies\left\{\begin{array}{c}6x=3y\\4y=3x\end{array}\right\}$$Aus der oberen Gleichung folgt \(y=2x\), was wir in die untere einsetzen, um \(8x=3x\) zu erhalten. Daher ist \(x=0\) und \(y=0\). Wir haben als stationären Punkt also \(S(0;0)\) gefunden.
Der Funktionswert an der Stelle ist \(f(0;0)=5\).
Um zu entscheiden von welcher Art dieser stationäre Punkt ist, brauchen wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_{xx}f & \partial_{yx}f\\\partial_{xy}f & \partial_{yy}f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & -3\\-3 & 4\end{pmatrix}$$Der erste Hauptminor (links oben) ist \(6\), der zweite Hauptminor (die Determinante) ist \(15\), beide sind positiv, sodass die Hesse-Matrix positiv definit ist. Daher liegt an der Stelle \((0;0)\) das globale Minimum vor.$$f(0;0)=5\quad\text{(globales Minimum)}$$
