Berechnen des Volumen des Körpers mit Intervall! mit Lösung, brauche nur Erklärung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen des Körpers \( \{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 3,1 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 2\} \).

Lösung:

\( \int \limits_{x=0}^{3} \int \limits_{y=1}^{2} 2 d y d x \)

\( \left.\int \limits_{x=0}^{3} 2 y\right|_{1} ^{2} d x= \int \limits_{x=0}^{3}\left. 2 d x=\left.2 x\right|_{0} ^{3}=6\right. \)

Auch die Berechnung über das Dreifachintegral ist möglich.

Problem:

Warum sind das 2dy dx?

Answer 1

Ich setze mal das Dreifachintegral an:

$$\int _{ x=0 }^{ 3 }{ \int _{ y=1 }^{ 2 }{ \int _{ z=0 }^{ 2 }{ 1 } dzdydx }  }$$$$=\int _{ x=0 }^{ 3 }{ \int _{ y=1 }^{ 2 }{ z|_{ 0 }^{ 2 }dydx }  }$$Grenzen 2 und 0 für z einsetzen:$$=\int _{ x=0 }^{ 3 }{ \int _{ y=1 }^{ 2 }{ (2-0)dydx }  }$$$$=\int _{ x=0 }^{ 3 }{ \int _{ y=1 }^{ 2 }{ 2dydx }  }$$$$=\int _{ x=0 }^{ 3 }{ 2y|_{ 1 }^{ 2 }dx }$$Grenzen 2 und 1 für y einsetzen:$$=\int _{ x=0 }^{ 3 }{ 2*2-2*1dx }$$$$=\int _{ x=0 }^{ 3 }{ 2dx }$$$$=2x|_{ 0 }^{ 3 }$$Grenzen 3 und 0 für x einsetzen:$$=2*3-2*0$$$$=6$$Ist es jetzt verständlich?