Lagrange-Rechnung: immer die falsche Lösung

Question

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Ich sitze gerade an einer Aufgabe, wo der Lagrange Ansatz nötig ist.

Die Aufgabe lautet f(x,y) = x^2-10y^2 mit der nebenbedingung: x-y=18

Folglich habe ich aus der NB x-y-18=0 gebildet und die Lagrange-Formel wie folgt aufgestellt

L(x,y,λ) = x^2-10y^2 - λ (x-y-18)

Die daraus resultierenden Part. Ableitungen:

Lx = 2x - λ = 0

Ly = -20y - λ = 0 und

Lλ = -x+y+18 = 0

Danach versuchte ich per Gleichsetzung etc die kritischen Punkte zu erfassen, allerdings vergeblich. Ich finde auch keinen Fehler in meiner bisherigen Aufstellung. Die angegeben Ergebnisse der Aufgabe sind mir bekannt und ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich auf die Zahlen komme.

Kann mir da jemand helfen?

Ps: leider klappte die Funktion der Hochzahl nicht, daher die andere Schreibweise.

Answer 1

Hi,
es gilt $$ L_y = -20y + \lambda = 0  $$
Hilft das schon genug?

Comments

Nein, das ist mir leider nicht ganz ersichtlich.

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also es gilt

$$  (1) \quad L_x = 2x - \lambda = 0 $$

$$  (2) \quad L_y = \lambda - 20y = 0 $$

$$  (3) \quad L_\lambda = y - x + 18 = 0 $$

Aus (1) und (2) folgt \( x = 10y \) und damit folgt aus (3) \( y  = 2 \) und somit \( x = 20 \) und \( \lambda = 40 \)

Die Hesse Matrix sieht folgendermaßen aus$$  H = \begin{pmatrix}  L_{xx} & L_{xy} \\ L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  2 & 0 \\ 0 & -20 \end{pmatrix} $$

Damit ist \( H \) indefinit.

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Ja genau das sind die auch die gegebenen Ergebnisse.

Aber wieso muss denn bei der part. Ableitung nach y λ positiv sein - das blicke ich immer noch nicht. Es ist doch in der Formel negativ. Wie bei der ableitung nach x auch...

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Aaaah liegt es an dem -λ in der Lagrange Formel, welches * das - y aus der Klammer genommen wird. Und minus und minus gibt's ja plus?

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Ja genau, \( -\lambda \cdot (-y) = \lambda y \)