Bestimmen Sie mit der Lagrange-Methode denjenigen Punkt auf der Kreislinie, der vom Punkt P

Question

Aufgabe:

Gegeben sind der Punkt P = (1, 1) und die Kreislinie um den Mittelpunkt (0, 0) mit einem Radius von 1

Zielfunktion: f(x, y) = (x − 1)² + (y − 1)²

Bestimmen Sie mit der Lagrange-Methode denjenigen Punkt auf der Kreislinie, der vom Punkt P
den minimalen Abstand hat. Wie groß ist dieser Abstand?

Problem/Ansatz:

Meine Idee war als Nebenbedingung x²+y² = 1 zu verwenden, da es sich ja um den Einheitskreis handelt.

Die Lagrangefunktion wäre dann L(x,y,lam) = (x − 1)² + (y − 1)²  + lam(x² + y² -1  )

Dann eben die Ableitungen Bilden.

Was ich mich nun Frage wieprüfe ich denn welche Punkt den geringsten Abstand hat? (1,1) liegt ja auf dem Einheitskreis und wäre somit der Punkt mit dem geringsten Abstand zu sich selbst.

Oder sollte die Nebenbedingung den geringsten Abstand zwischen 2 Punkten darstellen?

Würde mich über input und Hilfe freuen.

Comments

"P(1|1) liegt ja auf dem Einheitskreis und wäre somit der Punkt mit dem geringsten Abstand zu sich selbst."

P(1|1) liegt nicht auf dem Einheitskreis:

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Habe ich auch grade bemerkt.

Die Frage ist nur wie ich an den Punkt mit dem Minimalsten Abstand zu 1,1 komme.

Jetzt einfach Lagrange lösen und mit der hessematrix schauen ob es ein min ist und dann?

Ist die Lagrangefunktion den wenigstens richtig?

Bin etwas ratlos.

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P(1|1)  muss auch irgendwie in der Nebenbedingung sein, aber wie , das stellt sich mir auch als Problem.

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In der Zielfunktion ist der P(1,1) schon enthalten wenn ich das richtige verstehe durch die -1

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Probiere doch  mal mit deinem 1.Ansatz. Vielleicht ist das doch der richtige Weg.

( Eine Gerade durch P(1|1) und M (0|0) schneidet den Einheitskreis in dem Punkt mit dem geringsten Abstand zu P.)

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Kurzer Nachtrag oben steht ja dass der Radius vom Kreis 1 ist müsste dann nich 1,1 auch darauf sein???

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Sry für den nachtrag der kam irgendwie von ganz am anfang

Answer 1

Ich hab mich noch nicht allzuviel mit dem Lagrange beschäftigt, aber es erscheint mir logisch die Zielfunktion als Abstand Punkt (x,y) zu P zu definierten und als Nebenbedingung die Kreisgleichung zu wählen.

\(\small f(x, y) \, :=  \, \sqrt{\left(\left(x, y \right) - \left(1, 1 \right) \right)^{2}}\)

\(\small NB(x, y) \, :=  \, x^{2} + y^{2} - 1\)

kommt auch was sinnvolles dabei raus

Comments

Also die Zielfunktion ist ja gegeben mit den punkten die subtrahiert werden von jeweils x und y. Das Ergebnis müsste stimmen zumindest graphisch kann man das am Einheitskreis ablesen.

Hast du dann noch die Wurzel genommen oder einfach die Zielfunktion verwendet wie sie steht?

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Ich hab den Abstand 2er Punkte ((x,y) von (1,1))  als Zielfunktion genommen, die Wurzel kann man u.U. einsparen und man erhält das Abstandsquadrat. Das die Zielfunktion als gegeben zu betrachten ist hab ich nicht so verstanden.

Nach dem wir nun den Abstand beschrieben haben müssen wir noch sicherstellen, dass (x,y) auf dem Einheitskreis liegt, also x^2+y^2=1 ist eine zu berücksichtigende Bedingung...

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das Quadrat des Abstand eines Punktes \((x|y)\) vom Punkt \(P(1|1)\) ist:$$f(x;y)=(x-1)^2+(y-1)^2$$Diesen Abstand wollen wir unter der Nebenbedingung optimieren, dass der Punkt \((x|y)\) auf dem Einheitskreis um den Ursprung liegt:$$g(x;y)=x^2+y^2\stackrel!=1$$

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, ist der Fall sehr überschaubar:

$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{2(x-1)}{2(y-1)}=\lambda\binom{2x}{2y}$$Wir dividieren die beiden Korrdinatengleichungen und finden:$$\frac{2(x-1)}{2(y-1)}=\frac{\lambda 2x}{\lambda 2y}\implies\frac{x-1}{y-1}=\frac{x}{y}\implies xy-y=xy-x\implies x=y$$Dies in die Nebenbedingung eingesetzt liefert:$$1=x^2+y^2=2x^2\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$Wir haben also 2 Extermalpunkte gefunden:$$K_1\left(\frac{1}{\sqrt2}\,\bigg|\,\frac{1}{\sqrt2}\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{1}{\sqrt2}\,\bigg|\,-\frac{1}{\sqrt2}\right)$$Dass \(K_1\) den minmalen Abstand hat und \(K_2\) den maximalen Abstand, dürfte klar sein. Man könnte das auch noch durch Einsetzen in \(f(x;y)\) zeigen.

Answer 3

Verschiedene Verfahren sind schon aufgezeigt.

Hier Berechnung des minimalsten und maximalsten   Abstand:

\(k_1(x,y)=x^2+y^2-1\)

Gesucht sind nun Kreise mit Mittelpunkt \(M(1|1)\), die den Einheitskreis berühren:

\(k_2(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2-r^2\)

Weg über das implizite Differenzieren:

Einheitskreis:  \(k(x,y)=x^2+y^2-1\)

\( k_x (x , y) = 2x \)

\( k_y (x , y) = 2y \)

1.) \(k'(x)=- \frac{k_x (x , y) }{k_y (x , y) }=-\frac{x}{y}\)

gesuchter Kreis: \(k_x(x,y)=2(x-1)\)

\(k_y(x,y)=2(y-1)\)

2.)\(k'(x)=-\frac{x-1}{y-1}\)

Bei Berührung müssen nun die Steigungen der Tangenten gleich sein:

 \(-\frac{x}{y}=-\frac{x-1}{y-1}\)   aufgelöst nach \(y\):

\(y=x\)

Diese Gerade schneidet den Einheitskreis in den beiden Berührpunkten:

\(x^2+x^2=1\)

\(x_1= \frac{1}{\sqrt{2}} \)     \(y_1= \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\(x_2=- \frac{1}{\sqrt{2}} \)    \(y_1= -\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\(B_1( \frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{\sqrt{2}})\)

Abstandsberechnung:

\((x-1)^2+(y-1)^2=r^2\)  → \( (\frac{1}{\sqrt{2}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}-1)^2=r^2\) 

\( r^2=...\)

Answer 4

Deine Lagrange-Funktion sieht gut aus

L(x, y, k) = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + k·(x^2 + y^2 - 1)

Wir bilden die drei partiellen Ableitungen und setzen die gleich null.

Lx = 2·x·(1 - k) - 2 = 0 --> k = 1 - 1/x
Ly = 2·y·(1 - k) - 2 = 0 --> k = 1 - 1/y
Lk = x^2 + y^2 - 1 = 0

Jetzt können wir die ersten beiden gleichsetzen

1 - 1/x = 1 - 1/y --> y = x

Und in die dritte einsetzen

x^2 + x^2 - 1 = 0 --> x = ± √2/2

Das eine wäre jetzt sicher der Punkt (√2/2 | √2/2) mit der dichtesten Entfernung und der andere mit der weitesten Entfernung.