Zeigen Sie, dass wir für alle x ∈ [0, 5] die Abschätzungen der Ungleichung haben

Question

a) Zeigen Sie, dass wir für alle x ∈ [0, 5] die Abschätzungen

x - x³/6≤ sin(x) ≤ x-x³/6+x⁵/120

1 - x²/2 ≤ cos(x) ≤ 1-x²/2+x⁴/24

haben.

b) Folgern Sie, dass die Cosinusfunktion eine kleinste positive Nullstelle besitzt. Wir definieren die
Kreiszahl π dadurch, dass diese Nullstelle gerade \( \frac{π}{2} \)  sei.

Danke im Voraus

Answer 1

Die Taylorapproximation von \( \sin (x) \) ist gegeben durch
\(\begin{aligned} \sin (x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}, \quad S_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \underbrace{\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}}_{a_{n}} .\end{aligned} \)
Man bemerke, dass diese Taylorreihe für beliebige \( x \) zu \( \sin (x) \) konvergiert. Weiterhin gilt
\(\begin{aligned} S_{2 n+1} \geq S_{2 n+2}, \quad S_{2 n+4} \geq S_{2 n+2}, \quad S_{2 n+1} \geq S_{2 n+3} \Longrightarrow S_{3} \geq \sin (x) \wedge S_{2} \leq \sin (x) .\end{aligned} \)
da \( a_{2 n+1} \) monoton fallend ist und \( a_{2 n+1}+a_{2 n+2} \geq 0 \). Wichtig ist hier, dass \( x \geq 0 \) gilt. Für \( \cos (x) \) kannst du mit dem gleichen Konzept vorgehen.