Hallo :-)
Betrachte doch einfach solch eine Linearkombination: Suche Koeffizienten \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\), sodass die Gleichheit
$$ a\cdot(x_1-2x_3)+b\cdot (-4x_1-x_3)+c\cdot (7x_1+4x_3)+d\cdot (-6x_1-7x_3)=0 $$
erfüllt ist. Es gilt:
$$ 0=a\cdot(x_1-2x_3)+b\cdot (-4x_1-x_3)+c\cdot (7x_1+4x_3)+d\cdot (-6x_1-7x_3)\\\qquad\qquad\quad=(\underbrace{a-4b+7c-6d}_{=0})\cdot x_1+(\underbrace{-2a-b+4c-7d}_{=0})\cdot x_3 $$
Dann bekommst du \(b=c-\frac{22}{9}\cdot d,\quad a=2\cdot c-\frac{19}{9}\cdot d\).
Also sind bereits die Vektoren \(x_1-2x_3,-4x_1-x_3,7x_1+4x_3,-6x_1-7x_3\) linear abhängig und es gilt:
$$ \text{Lös}=\text{span}(x_1-2x_3,-4x_1-x_3,7x_1+4x_3,-6x_1-7x_3)=\text{span}(x_1-2x_3,-4x_1-x_3) $$
Aus Spaß kannst du mal jeweils diese beiden linearen Gleichungsysteme betrachten:
$$ \alpha\cdot (x_1-2x_3)+\beta\cdot (-4x_1-x_3)=7x_1+4x_3 $$
$$ \gamma\cdot (x_1-2x_3)+\delta\cdot (-4x_1-x_3)=-6x_1-7x_3 $$
