Was soll ich hier tun? Lineare Abbildung

Question

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \vec{c}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)
Vektoren des \( \mathbb{R}^{3} \).
a) Geben Sie die eindeutig bestimmte lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( f(\vec{a})=\left(\begin{array}{r} 0 \\ -2 \end{array}\right), f(\vec{b})=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}\right), f(\vec{c})=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}\right) \)
an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau, was hier von mir gefordet ist. Soll ich die Abbildungsmatrix angeben?

Answer 1

Aloha :)

Die drei angegebenen Werte$$F\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\binom{0}{-2}\quad;\quad F\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\binom{2}{0}\quad;\quad F\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\binom{0}{2}$$kannst du zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen$$F\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & 0\\-2 & 0 & 2\end{array}\right)$$und daraus die Abbildungsmatrix \(F\) bestimmen:$$F=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & 0\\-2 & 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 1\\0 & 2 & -2\end{array}\right)$$

Du kannst diese Matrix auch als Funktionsterm schreiben:$$f(x;y;z)=\binom{-x+y+z}{2y-2z}$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Ich denke, dass dann eher f(x,y,z) gefordert ist. Danke!

Answer 2

Hallo :-)

Hier mal eine andere Herangehensweise. Ich suche die Bildvektoren \(f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right),f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right),f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)\). Habe ich diese, so kann ich ja \(f\) folgendermaßen umschreiben:

$$ \begin{aligned}f\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)&=f\left(\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&\stackrel{\text{f ist linear}}{=}f\left(\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}\right)+f\left(\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}\right)+f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&\stackrel{\text{f ist linear}}{=}x\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)+y\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)+z\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \end{aligned}$$

Als Eingabevektoren habe ich ja zunächst nur \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Diese kombiniere ich nun linear um jeweils meine neuen Eingabevektoren \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) zu erhalten. Dafür betrachte also das System:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\1&1&0&0&0&1\end{array} \right)\quad \Longrightarrow \quad \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[5pt]0&1&0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[5pt]0&0&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array} \right) $$

Also erhalte ich damit die drei gesuchten Bildvektoren:

$$\begin{aligned} f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)&=f\left(\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&=\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)-\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}\end{aligned}\\[30pt] \begin{aligned} f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)&=f\left(-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&=-\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&=-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\end{aligned}\\[30pt] \begin{aligned} f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)&=f\left(\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&=\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)-\frac{1}{2}\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)\\[20pt]&=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$

Schlussendlich bekomme ich also:

$$ \begin{aligned}f\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)&=x\cdot f\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)+y\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)+z\cdot f\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\[20pt]&=x\cdot \begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}+y\cdot \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+z\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-x+y+z\\2y-2z\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-1&1&1\\0&2&-2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\end{aligned}$$