-Was soll ich als Nächstes tun?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden Formeln :

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx für x ≥ -1  und n ∈ Ν₀ (Bernoulische Ungleichung)

Problem/Ansatz:

Meine Ideen

1. Schritt : n =0

              1 ≥ 1

-Was soll ich als Nächstes tun ?

-Erklären Sie mir bitte den Lösungsweg ausführlich , da ich dieses Thema schlecht verstanden habe.

- Welche Gesetze , Formeln soll man hier verwenden?

Vielen Dank im Voraus , Ihre HIlfe wird für mein  Mathe Studium sehr helfen (ich bin fast Anfänger , aber trotzdem möchte dieser Fach einfach besser verstehen !)

Mfg,

Puffinbird7

Answer 1

Aloha :)

Behauptung: \(\quad (1+x)^n\ge1+nx\quad;\quad x\ge-1\quad;\quad n\in\mathbb N_0\)

1) Verankerung bei \(n=0\)$$(1+x)^n=(1+x)^0=1\ge1+0\cdot x=1+nx\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt, die Behauptung ist für \(n\) bereits gezeit:$$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot(1+x)\stackrel{\text{I.V.}}{\ge}(1+nx)\cdot(1+x)=1+nx+x+nx^2$$$$\phantom{(1+x)^{n+1}}=1+(n+1)x+nx^2\ge1+(n+1)x\quad\checkmark$$

Comments

Vielen Dank für ausführliche Erklärung , aber es wurde folgende Frage entstanden :

\((1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot(1+x)\stackrel{\text{I.V.}}{\ge}(1+nx)\cdot(1+x)=1+nx+x+nx^2\)

Was bedeutet hier das Zeichen I.V. ?

mfg ,

puffinbird7

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Das "I.V." steht für Induktions-Voraussetzung. Das ist die Stelle, wo ich verwendet habe, dass die Richtigkeit der Behauptung bereits für \(n\) gezeigt wurde.

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Hallo !

Ich brauche Hilfe und Tipps ,also ich verstehe das Thema Reihen und Folgen nicht .Wenn ich Aufgabe löse,am Anfang gibt es Idee ,aber dann ich kann nichts weiter machen .

Als Hintergrund : Ich habe das Thema Grenzwerte ( eng Limits ), sehr oberflächlich betrachtet und fast Null Kenntnisse .Ist Reihen und Folgen mit dem Thema Grenzwerte verbindet ?

Soll ich Grenzwerte nachholen ?und später in Reihen tauchen ?

Und Können Sie Tipps geben ,was ich in meinem Fall tun soll ?

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Und natürlich schöne Ferien !

Mfg ,