Umkehrfunktion und Verkettung

Question

Ich hätte eine Frage bzgl. Umkehrfunktion bzw. Verkettung.

1. "Seien f:M-->N und g:N-->L Funktionen, dann ist für alle C Element von P(L) gilt (g°f)^-1 (C) =f^-1(g^-1(C))."

2. "Weiters gilt für alle A Element von P(M) gilt id_M^-1 (A)= A"

Bei 1. habe ich mir die bijektive Funktionen f(x) "x²+1" und g(x)="2x-1" und habe zuerst die Verkettung "g°f gebildet (2*(x²+1)-1) und danach die Umkehrfunktion gebildet, also (2*(x²+1)-1)^-1. Danach habe ich die einzelnen Umkehrfunktionen von f und g gebildet. f^-1= sqrt(x-1) und g^-1= (x+1)/2. Danach habe ich eben die Verkettung wieder gebildet f^-1(g^-1(C)), also sqrt((x+1)/(2-1)) . Und nun sollte ja Gleiche Funktion wieder rauskommen. Jedoch trifft das leider nicht zu. Habe ich mich irgendwo verrechnet?

Comments

Hallo,
zunächst ist Deine Funktion f nicht auf ganz \(\mathbb{R}\) invertierbar. Man müsste Dein Beispiel also sorgfältiger durchrechnen.
Aber Du hast die Aufgabe falsch verstanden. Es geht nicht um Umkehrfunktionen - dann müsste ja verlangt werden, dass die beteiligten Funktionen bijektiv sind - sondern um die Urbild-Mengen. Also ist zum Beispiel für \(A \sube N\):
$$f^{-1}(A)=\{x \in M \mid f(x) \in A\}$$Gruß Mathhilf

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hallo

was hast du denn für (g°f)^-1 raus? und

sqrt((x+1)/2 -1)) =√((x-1)/2) das ist genau (g°f)^-1 . natürlich nur für x>1 wo die funktion f^-1 existiert

lul