Zeigen sie, dass es zu jedem c∈ℂ\{0} genau ein r 0 und genau ein θ ∈(-π,π) mit z=reiθ existiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass es zu jedem c∈ℂ\{0} genau ein r>0 und genau ein θ ∈(-π,π) mit z=re^iθ existiert.

z=r(cosθ + i sinθ)

Hierbei geht es um die Polarkoordinaten von z mit (r,θ).

r>0 da für r=0 es keinen Winkel gibt. z=0ist z=0e^iθ

Dh. r=|z| und da c ohne die 0 muss r>0 sein.

Wir haben dieses eingeschränkte Intervall, weiß allerdings nicht wie ich diese Existenz beweisen soll.

Answer 1

Hallo,

vielleicht hilft

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

:-)

Answer 2

Hallo

 1. Zeichne ein beliebiges z=a+ib in die Gaußsche Zahlenebene, Dann ist klar der Betrag ist nach Pythagoras \(r= \sqrt{a^2+b^2} \)

und man kann den Winkel direkt ablesen mit cos(θ)=a/r und sin (θ)=b/r die zugehörigen Winkel liegen zwischen 0 und 2pi oder -pi bis +pi

(wenn man tan(θ)=b/a nimmt muss man außerdem noch den Quadranten wissen in dem z liegt)

Gruß lul

Comments

Ich verstehe nicht warum wir das Intervall einschränken ? Vielleicht weil wir sonst einen negativen Winkel erhaltet sprich unterhalb der x-Achse …

Dh wenn ich mit dem cos θ a/r arbeite bekomme ich nur 2 Lösungen raus oder ?

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Hallo

welches Intervall meinst du denn mit eingeschränkt, dass man bei z=0 keinen Winkel angeben kann, und  zwischen 0 und -pi ist doch unterhalb der reellen Achse? manche Leute zählen Winkel nur positiv, dann sind die Winkel im 3. und 4. Quadranten zwischen pi und 2 pi

oder man rechnet mit negativen Winkeln  im 4. Quadranten von 0 bis -pi/2 im 3. Q von -pi/2 bis -pi

Gruß lul

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Also wir sollen verwenden das θ∈ (-π,π] ist, ich bin total verwirrt im Internet wird diese Aussage nur für (0,2π) erläutert.

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Hallo

ich dachte, ich hätte das gerade erklärt? Der Winkel wir zur positiven x Achse gerechnet,  und zwar indem man sich eine Drehung des Zeigers nach links (gegen den Uhrzeigersinn) wenn man einen Zeiger immer weiter dreht kommt man bei der neg x- Achse auf pi und danach auf Werte größer pi. man kann aber auch den Zeiger nach rechts, also im Uhrzeigersinn drehen, dann nennt man die Winkel negativ.

Wenn du dir sin(x) und cos(x) Funktion aufzeichnest siehst du dass wenn du sie von -pi bis +pi ansiehst sie sich danach wiederholen , ebenso wie wenn du sie von 0 bis 2pi zeichnest,

gib in deine TR sin(-1) ein und sin(2pi-1) er sollte auf Bogenmaß eingestellt dasselbe ausgeben!

Gruß lul

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Also wir sollen verwenden das θ∈ (-π,π] ist, ich bin total verwirrt im Internet wird diese Aussage nur für [0,2π) erläutert.

Hallo,

das Intervall ist eingeschränkt, weil sin und cos periodisch sind. Z.B. zu -1 würden sonst ja unendlich viele Winkel gehören, nämlich π, 3π, 5π, usw.

Zu den beiden unterschiedlichen Intervallen kommt es, weil in den USA (-π,π] üblich ist, in anderen Ländern aber [0,2π).

:-)

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Dh die Beweise sind analog, habe mir die Intervalle nochmals veranschaulicht.

Danke