Bestimmen der Tangente an den Graphen der Funktion?

Question

Hi, ich verstehe diese Aufgabe leider überhaupt nicht, muss jedoch noch weitere ähnliche lösen.
Kann mir jemand beim Lösungsweg helfen?

Aufgabenstellung:

a) Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen der Funktion \( f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x)=\sqrt{x} \), im Punkt \( x_{0}=9 \). Skizzieren Sie den Graph und die Tangente.
b) Begründen Sie die lineare Approximation: \( \frac{1}{(1+x)^{3}} \approx 1-3 x \) für \( x \) nahe \( 0 . \)

Ansatz:
Bei der der a) habe ich zuerst die 1.Ableitung aufgestellt: f ' (x) = 1/2 * x^-1/2  
Ich weiß leider nicht, wie ich damit nun die Tangente bestimmen soll :/

Zu der b): Habe noch nie etwas von einer Approximation gehört und das Internet war auch nicht hilfreich. Hier habe ich also keinen eigenen Ansatz.

Vielen Dank im Voraus o:

Answer 1

Wenn du die Ableitung hast, dann kannst du auch x=9 in diese Ableitung einsetzen.

Damit hast du schon mal den Anstieg m der gesuchten Tangente.

Die Tangente ist nun diejenige Gerade, die diesen Anstieg m hat UND durch den Punkt (9;√9) verläuft.

Comments

Danke,
ich habe als Tangentengleichung nun y=1/6 * x + 3/2.

Könntest du mir auch bei der b) helfen?

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Zeige, dass 1-3x die Tangente von\( \frac{1}{1+x^3} \) an der Stelle 0 ist.

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Für das Zeigen muss man die 1.Ableitung von 1/ 1+x^3 bestimmen, dann 0 in diese einsetzen und dann den Punkt ( 0 / f(x) ) einsetzen, oder?

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Also ich habe die Ableitungsfkt. aufgestellt und wenn ich 0 in diese einsetze, erhalte ich wiederum 0.
Die Steigung an dieser Stelle ( x= 0) ist ja dann 0, jedoch wenn ich den Punkt (0/1) in die Tangentengleichung einsetze, bekomme ich nicht die zu zeigende Tangente heraus.

Mache ich bei dem Weg irgendwas falsch oder bei der Rechnung?

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Hast du mit \(\frac{1}{1+x^3}\) oder \(\frac{1}{(1+x)^3}\) gerechnet?

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Ich habe eine Klammer falsch gesetzt bzw. vergessen,

Die Funktion ist ja nicht \( \frac{1}{1+x^3} \), sondern \( \frac{1}{(1+x)^3} \)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F%281%2Bx%29%5E3%29%29%2C+1-3x

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Mit \(\frac{1}{(1+x^3)}\).

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In der Aufgabenstellung steht aber \(\frac{1}{(1+x)^3}\)

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Irgendwas mache ich falsch.

Habe als erste Ableitung: -3 / (1+x)^4

Mit der komme ich aber nicht aufs richtige Ergebnis :/

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Deine Ableitung ist richtig und somit die Steigung \(f'(0)=-\frac{3}{(0+1)^4}=-3\)

Wie bist du dann weiter vorgegangen?

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Dann muss ich mich wohl verrechnet haben.
Habe das m dann in die Gleichung: y= mx+t eingesetzt, um nach dem t aufzulösen.

Das y und x bekommt man ja, indem man 0 in die Ursprungsgleichung einsetzt.
Dann den Punkt (0/1) und m eingesetzt. => t=1
Dann ist die Tangentengl. : y= -3x + 1

Wow, es stimmt :)
Genügt die Rechnung als Beweis?

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Ich denke, ja.

Answer 2

t(x) = (x-9)'f '(9) +f(9)