Bestimme die Gleichung der Exponentialfunktion der Bakterienkultur

Question

Biologen experimentieren mit einer bestimmten Bakterienkultur. Die Vermehrung der Bakterien kann in den ersten 8 Stunden durch eine Exponentialfunktion f der Form y = b*a^x beschrieben werden. Dabei ist y die Anzahl der Bakterien und x die Zeit in Stunden.

Zu beginn der Messung (x=0) sind 30 Bakterien vorhanden (y=30). Nach 3 Stunden (x=3) sind es bereits 90 Bakterien (y=90)

a) Bestimmen sie Gleichung der Exponentialfunktion

b) Wie viele Bakterien existieren nach 5 Stunden?

c) Ermitteln Sie die Zeit t, nach der die Anzahl der Bakterien auf mindestens 440 gestiegen ist.

PS.bitte um hilfe!!!

Answer 1

 

f(x) = b * a^x

Zu Beginn der Messung (x=0) sind 30 Bakterien vorhanden (y=30):

I. f(0) = 30 = b * a⁰ = b * 1 = b

Nach 3 Stunden (x=3) sind es bereits 90 Bakterien (y=90):

II. f(3) = 90 = b * a³

 

Wir setzen b = 30 in II. ein:

90 = 30 * a³

a³ = 90/30 = 3

a = ³√3 ≈ 1,4422495703

 

a) Bestimmen sie Gleichung der Exponentialfunktion

Diese lautet also

f(x) = 30 * 1,4422495703^x

Probe:

f(0) = 30 * 1,4422495703⁰ = 30 * 1 = 30

f(3) = 30 * 1,4422495703³ = 30 * 3 = 90

 

b) Wie viele Bakterien existieren nach 5 Stunden?

Einfach einsetzen:

f(5) = 30 * 1,4422495703⁵ ≈ 187

 

c) Ermitteln Sie die Zeit t, nach der die Anzahl der Bakterien auf mindestens 440 gestiegen ist.

f(x) = 440 = 30 * 1,4422495703^x

1,4422495703^x = 440/30 = 44/3

ln(44/3) / ln (1,4422495703) ≈ 7,33

Nach ca. 7,34 Stunden ist die Anzahl der Bakterien auf mehr als 440 angestiegen.

Probe:

f(7,34) = 30 * 1,4422495703^7,34 ≈ 441,0399442603

 

Besten Gruß