Untersuchung Injektivität, Subjektivität und Bijektivität C/{1}-->C: z--> z/2z-2

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen jeweils auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität und $\mathbb{K}$-Linearität für $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ und für $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.

 $f_{3}: \mathbb{C} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto \frac{z}{2 z-2}$

Hinweis: Eine Abbildung $f: V \rightarrow W$ zwischen $\mathbb{K}$-Vektorräumen $V$ und $W$ heißt $\mathbb{K}$-linear, falls $f(u+v)=f(u)+f(v)$ und $f(k v)=k f(v)$ für alle $u, v \in V$ und alle $k \in \mathbb{K}$ gelten.

Comments

Hallo

du stellst mehrere solche aufgaben rein, ohne Kommentar, was du daran nicht kannst. Linear oder nicht ist doch einfach nur einsetzen der Bedingung und überprüfen? ob surjektiv überprüfen ob du jedes w aus C erreichen kannst,injektiv, gibt es zu z1 und z2 immer 2 verschiedene Bilder usw,

Also schildere was du hast und wo du zweifelst oder nicht weiter weisst.

Gruß  lul

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die Funktion$$f_3\colon\mathbb C\setminus\{1\}\to\mathbb C\,\colon\,f_3(z)=\frac{z}{2z-2}$$Zuerst formen wir die Funktionsgleichung etwas um:$$f_3(z)=\frac{z}{2z-2}=\frac{(z-1)+1}{2z-2}=\frac{z-1}{2z-2}+\frac{1}{2z-2}=\frac12+\frac{1}{2(z-1)}$$

Injektivität

Wir nehmen an, dass es zwei Argumente $z_1$ und $z_2$ aus der Defintionsmenge gibt, die dasselbe Ziel haben:$$f_3(z_1)=f_3(z_2)\implies\frac12+\frac{1}{2(z_1-1)}=\frac12+\frac{1}{2(z_2-1)}\implies\frac{1}{2(z_1-1)}=\frac{1}{2(z_2-1)}$$$$\phantom{f_3(z_1)=f_3(z_2)}\implies\frac{1}{z_1-1}=\frac{1}{z_2-1}\implies z_1-1=z_2-1\implies z_1=z_2$$Das heißt im Umkehrschluss: $z_1\ne z_2\implies f_3(z_1)\ne f_3(z_2)$.

Verschiedene Argumente haben also stets verschiedene Ziele, die Funktion ist injektiv.

Surjektivität

Wir greifen uns ein beliebiges Element $c\in\mathbb C$ aus der Zielmenge heraus und prüfen, ob es ein $z$ aus der Definitionsmenge gibt, das unser ausgewähltes Element $c$ trifft:$$f(z)\stackrel!=c\implies\frac{1}{2}+\frac{1}{2(z-1)}\stackrel!=c\implies\frac{1}{z-1}=2c-1\stackrel{c\ne\frac12}{\implies} z=\frac{1}{2c-1}+1$$Das Element $\frac12$ aus der Zielmenge wird von keinem $z$ aus der Definitionsmenge getroffen.

Die Abbildung ist daher nicht surjektiv.

Bijektivität

Da die Funktion nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.

Linearität

Wäre $f_3$ linear, müsste gelten: $f_3(2)=2\cdot f_3(1)$. Da $f_3$ an der Stelle $z=1$ jedoch nicht definiert ist, ist $f_3$ nicht linear.