Verknüpfung von linearen Abbildungen

Question

Es seien U, V und W endlich dimensionale K-Vektorräume, und
φ : U → V und ψ : V → W K-lineare Abbildungen. ψ ◦ φ bezeichne die
Hintereinanderausführung:
ψ ◦ φ : U → W, u → ψ(φ(u)).

Man zeige dass rg(ψ ◦ φ) ≤ min(rg(ψ),rg(φ)).

Danke im Voraus

Answer 1

Sei
\( \phi: U \rightarrow V, \quad \psi: V \rightarrow W \)
Wir wollen zeigen, dass
\( \operatorname{dim}(\operatorname{im}(\psi \circ \phi)) \leq \min \{\operatorname{dim}(\operatorname{im}(\psi)), \operatorname{dim}(\operatorname{im}(\phi))\} \)
Nun gilt
\( \operatorname{dim}(\operatorname{im}(\psi \circ \phi))=\operatorname{dim}(\{\psi(x) \mid x \in \phi[U] \subseteq V\}) \leq\left\{\begin{array}{l} \operatorname{dim}(\phi[U])=\operatorname{dim}(\operatorname{im}(\phi)) \\[5pt] \operatorname{dim}(\operatorname{im}(\psi)) \end{array}\right. \)

Du kannst ja eventuell noch ein paar Erklärungen beifügen.