Lineare Abbildungen, Vektorräume

Question

Es seien U, V und W endlich dimensionale K-Vektorräume,
und φ : U → V und ψ : V → W K-lineare Abbildungen. Außerdem sei ψ
injektiv. Man zeige dass rg(ψ ◦ φ) = rg(φ).

Danke im Voraus

Answer 1

Wenn rg(φ)=n ist, dann wird jede Basis von U auf eine

Menge von Vektoren aus V abgebildet, von denen immer genau n

Stück linear unabhängig sind.

Diese bilden also eine Basis von Bild(φ).

Da ψ injektiv ist, werden n linear unabhängige

Vektoren von V auf n linear unabhängige Vektoren von

W abgebildet, es ist also dim( ψ(Bild(φ)) = n.

Aber es ist   ψ(Bild(φ) = Bild(ψ ◦ φ), also

rg (ψ ◦ φ) = rg(φ).

Man kann wohl auch mit dem Dimensionssatz argumentieren;

denn es ist ja Kern(ψ)={0} wegen der Injektivität.