Stammfunktion von ∫ 1/(1-cos(x)) dx bestimmen. Substitution?

Question

∫ 1/(1-cos(x)) dx

Hallo an Alle,

ich brauche einmal eure Hilfe:
Wie kann ich folgendes Integral bilden?

1/ (1-cos(x)) ?

Ich würde die Substitution anwenden und versuchen, cos (x) zu substitutieren, aber ich komme wiederholt auf kein Ergebnis.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.  

Comments

  leider kann ich dir bezüglich des Integrierens auch nicht helfen.
Das Ergebnis soll sein - cot ( x / 2 ).

  mfg Georg

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Vielleicht hilft ja eine trigonometrische Umformung.

1/(1-cos(x))
= (1+cos x)/ ((1-cosx )(1+cos x))
= (1+cos x) / (sin^2 x)

= 1/sin^2 x + cos(x)/sin^2 x

Wenigstens im 2. Summanden hätte man die innere Ableitung über dem Bruchstrich.

Answer 1

Hallo

Folgender Weg ist auch möglich. Bei solchen Integralen verwendet man die typische Substitution.

(t= tan(x/2) )

Diese braucht nicht jedesmal hergeleitet werden, denn Sie gelten immer bei  den Sin , Cos , Tan Cot -Funktonen .

Deshalb entnimmt man das sofort aus einem Tafelwerk. Dabei kürzt sich das Ganze sehr elegant weg

und es bleibt noch ein sehr einfaches Grundintegral übrig.

Answer 2

Folgende Substitution vereinfacht den Nenner auch:

x = 2u; u=x/2

dx/du = 2 ---> dx = 2du

cos(2u) = cos² u - sin² u = 1-2sin² ( u)

1/(1-cos(2u)) = 1/(2sin² (u))

Hier müsste man die Stammfunktion von 1/sin² (x) kennen.

Falls nun  ∫ 1/sin² (x) dx = - cot(x) + C  bekannt ist,

Folgt

∫ 1(1-cos x) dx = ∫ 1/(2sin² (u)) 2du =

 ∫ 1/(sin² (u)) du =-  cot u + C = - cot (x/2) + C