Berechnen Sie für beliebige n ∈ ℕ die folgende Summe:

Question

Hallo!

Kann jemand mir bitte bei dieser Aufgabe helfen? Danke euch im Voraus

Aufgabe:

Berechnen Sie für beliebige \( n \in \mathbb{N} \) die folgende Summe:
\(\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}2 n \\2 k\end{array}\right) .\)

Answer 1

Hast du mal versucht, die Aufgabe konkret für n=0, n=1, n=2, n=3 und n=4 zu lösen?

Comments

Ja, wollte per Induktion zeigen, dass die Werte der Summe die Form 2^(2n-1)haben, leider konnte ich nicht

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Wenn du die beiden Gleichungen   ∑ [k=0 .. n] (n über k) = 2^n und (n über k) + (n über k+1) = (n+1 über k+1)  kennst, kanst du deine Formel direkt durch Termumformung, ohne Induktion zeigen.

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Update : Und wenn du sie nicht kennst, dann mache es so wie A, das ist sogar noch eleganter als

∑ [k=0 .. n] (2n über 2k)  =  ∑ [k=0 .. 2n] (2n über k) - ∑ [k=0 .. n-1] (2n über 2k+1)
   =  2²ⁿ - ∑ [k=0 .. n-1] ( (2n-1 über 2k) + (2n-1 über 2k+1) ) 
   =  2²ⁿ - ∑ [k=0 .. 2n-1] (2n-1 über k)  =  2²ⁿ - 2^2n-1 =  2*2^2n-1 - 2^2n-1 =  2^2n-1
   =  4^n / 2

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Alles klar! ich danke dir

Answer 2

Für \(n\in\mathbb N\) gilt nach dem binomischen Lehrsatz$$2^{2n}=(1+1)^{2n}+(1-1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}k+\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\cdot\binom{2n}k=2\cdot\sum_{k=0}^n\binom{2n}{2k}.$$Die Summanden mit ungeraden Indices addieren sich zu Null.

Comments

ist auch eine Möglichkeit! Danke dir