Stärkste Krümmung für ln(sin(x))

Question

Aufgabe:

Ich soll den Punkt berechnen, in dem y(x) = ln(sin(x)) für 0 < x < pi am stärksten gekrümmt ist und für diesen Punkt die Gleichung des Krümmungskreises angeben. Zusätzlich soll ich eine Skizze anfertigen.

Problem/Ansatz:

Für die Krümmung benötigt man ja die 2.Ableitung der Funktion, diese habe ich berechnet und -1/sin^2(x) bekommen. Ich habe diese dann aufgezeichnet und herausgelesen, dass das Maximum -1 ist. Stimmt das? Kann man das berechnen auch? Wie das mit dem Krümmungskreis funktioniert weiss ich leider gar nicht.

Answer 1

f(x) = LN(SIN(x))
f'(x) = COS(x)/SIN(x) = COT(x)
f''(x) = - 1/SIN(x)^2

K(x) = (- 1/SIN(x)^2)/(1 + COT(x)^2)^(3/2) = - |SIN(x)|

Die Krümmung ist bei x = pi/2 mit K(pi/2) = - 1 am größten.

Answer 2

Deine Ableitung stimmt nicht:

https://www.ableitungsrechner.net/

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-cos%5E2%28x%29%2Fsin%5E2%28x%29-1+%3D0

Es gilt:

f(x) = ln g(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

Comments

Es geht um die zweite Ableitung von ln(sin(x)) und die ist in der Tat -1/sin²(x).

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Danke, der Rechner zeigte es anders an. Ich habs nicht weiter umgeformt.

Du hast natürlich Recht. :)

Komisch, warum er diese einfache Schreibweise nicht anzeigt.